17
f ′(x) > 0 и f ′′(x) < 0 – функция f(x) возрастающая, график f(x) выпуклый;
f ′(x) < 0 и f ′′(x) > 0 –функция f(x) убывающая, график f(x) вогнутый. Следовательно, сужение интервала изоляции корня возможно изменением
только одной из его границ, а именно, если приближенное значение x корня ξ выполнено с недостатком, то принять a = x , иначе b = x .
Оценить погрешность результата можно, используя следующее соотноше-
ние: |
|
m |
|
|
|xn – xn–1| < |
ε, |
|
|
M − m |
||
min |
max |
|
|
где m = x [ a ; b ] |f ′(x)|, M = x [ a ;b ] |f ′(x)|. |
|
|
|
1.2.6.1Алгоритм метода хорд
1.Установить значения a, b, ε – границы отрезка отделения корня и принятую точность приближения.
2.Выполнить проверку применимости метода: если sgn f(a)= sgn f(b), то ме-
тод не применим, конец вычислений. Иначе 3. Установить вариант сужения интервала изоляции корня:
если sgn f '(a)= sgn f ''(a), то v = 1 – вариант с недостатком иначе v = 2 – вариант с избытком.
4. Вычислить m = |
min |
M = |
max |
x [ a ; b ] |f ′(x)|; |
x [ a ; b ] |f ′(x)|. |
5.Начать цикл уточнения корня.
5.1.Вычислить очередное приближение x = a –
f ( a )
f ( b ) − f ( a ) (b – a).
5.2. Вычислить оценку для приближения и выполнить сужение интервала изоляции корня:
если v = 1, то d = x – a; a = x, иначе d = b – x; b = x.
6. Конец цикла, если d < Mm m ε .
−
7.Вывод результата x.
8.Конец алгоритма.
1.2.7Комбинированный метод
Пусть на отрезке [a; b] отделен корень уравнения (1), функция f(x) дважды дифференцируема, а f ′(x) и f ′′(x) сохраняют постоянные знаки на указанном интервале.
Комбинированный метод соединяет в себе метод хорд и метод Ньютона и позволяет на каждом этапе находить значения по недостатку x1 и значения по избытку x2 точного корня ξ уравнения (1). Тогда сужение отрезка изоляции корня можно выполнять, принимая a = x1, b= x2 . Если: