для всех матан / Кратные и криволинейные интегралы / Введение-кратн-инт
.doc
Введение.
Предлагаемое пособие состоит из двух частей. Первая часть содержит элементарную теорию кратных и криволинейных интегралов с примерами вычислений. Объём материала здесь примерно соответствует программе соответствующих разделов курса высшей математики технических вузов. Во второй части более углублённо рассматривается понятие измеримости площади и объёма по Риману и по Лебегу, а также даётся понятие площади двумерной поверхности по Лебегу как нижнего предела площадей триангуляций графика функции двух переменных, непрерывных вместе со своими частными производными.
В первой части последовательно рассматривается ориентация простейших фигур (треугольника, тетраэдра) в одномерном, двумерном, трёхмерном и многомерном случаях. Ориентация составной фигуры определяется как согласованная ориентация её частей.
При вычислении площади и объёма этих фигур используется геометрическое понятие определителя как ориентированной площади или объёма, натянутого на пару или тройку векторов. Геометрически двукратный интеграл определяется как ориентированный объём кривоповерхностного цилиндра по аналогии с классическим определением определённого интеграла как ориентированной площади криволинейной трапеции. Площадь или объём рассматриваются классическим способом как предел ступенчатых фигур, приближающих эту площадь или объём. Разбираются решения типичных контрольных заданий на соответствующую тему. Даётся пример взятия кратного интеграла машинным (компьютерным) способом.
Особенностью первой части данного пособия является попытка «осовременить» изложение поверхностных интегралов второго рода. Известные теоремы Лейбница – Ньютона, Грина, Стокса и Остроградского – Гаусса рассматриваются как частные случаи общего утверждения Пуанкаре о связи интеграла по объёму с интегралом по поверхности как топологической границы этого объёма. Указанное утверждение можно рассматривать (как минимум) в качестве мнемонического правила для запоминания упомянутой серии теорем.
Отмечается (на примерах), что при вычислении, в частности, поверхностных интегралов необходимо внимательно следить за ориентацией фигуры для правильной расстановки пределов при замене кратного интеграла на повторный.
Во второй части пособия рассматриваются классические понятия измеримости по Риману и по Лебегу. Даётся схема доказательства интегрируемости непрерывной функции по Риману. Рассматривается критерий интегрируемости по Риману как нулевое значение меры Лебега для множества точек разрыва подынтегральной функции.
Проводится схема доказательства существования площади поверхности по Лебегу для гладкой (то есть непрерывной вместе со своими частными производными) функции двух переменных, и доказывается, что эта площадь равна кратному интегралу определённого вида. При этом площадь поверхности по Лебегу рассматривается как предел нижних граней площадей триангуляций для поверхности графика подынтегральной функции, мелкость разбиения которых не превосходит заданную величину.
Автор надеется, что данное пособие будет способствовать повышению теоретического понимания понятий ориентации, площади и объёма как фундаментальных математических понятий. Кроме того, это пособие может рассматриваться как теоретическое приложение к руководствам по решению задач по теме: «криволинейные и кратные интегралы» тем более, что оно содержит методические указания по решению контрольных заданий по соответствующей теме.