§ 2Ориентированная площадь и ориентированный объём.

Определение. Множество концов векторов вида, гдеипри условии, что начала векторовисовпадают с концом вектора, называетсяпараллелограммом, натянутым на вектораи.

Аналогично, множество концов векторов вида, где,ипри условии, что начала векторов,исовпадают с концом вектора, называетсяпараллелепипедом, натянутым на вектора,и.

Определение. Ориентированная площадь параллелограмма, натянутого на вектораиесть число (как положительное так и отрицательное), причём модуль (абсолютная величина этого числа) есть обычная площадь параллелограмма. Знак этого числа определяется сравнением ориентации пары векторовис ориентацией пары базисных векторовиплоскости векторови(для простоты можно считать, чтоиобразуют декартов базис, то есть эти вектора имеют единичную длину и взаимно ортогональны (перпендикулярны)). Если ориентация парыисовпадает с ориентацией парыи, то ориентированная площадь положительна, если не совпадают, то ориентированная площадь отрицательна.

Аналогичноопределяется ориентированный объём параллелепипеда, натянутого на тройку векторов,и: это есть число, модуль которого – обычный объём этого параллелепипеда, а знак числа определяется по совпадению ориентаций тройки векторов,ис ориентацией тройки базисных векторов пространства,и.

Определение. Грассманово произведениедвух векторов есть операция, обладающая следующими свойствами.

1. Эта операция линейна относительно своих сомножителей: .

2. Эта операция антикоммутативна относительно своих сомножителей:

. Следствие антикоммутативности:.

Нетрудно видеть, что ориентированная площадь обладает свойствами грассманова произведения. Свойство 1 может быть проиллюстрировано рисунком.

Далее, , поскольку ориентация парыпротивоположна ориентации пары.

Рассмотрим грассманово произведение двух векторов, разложенных по векторам идекартова базиса:и.

Видно, что:

.

В данном случае использованы свойства линейности и антикоммутативности грассманова произведения и его следствие:

Отсюда видно, что , где- определитель второго порядка. Рассматриваякак именованную ориентированную площадь, а величинукак некоторую единицу измерения этой площади, видим, что определитель как отвлечённое число есть отношение именованных площадей:.

Задача. Проверить формулу вычисления определителя второго порядка непосредственно на декартовой плоскости.

Решение вытекает из рисунка.

Именно: .

Из изложенного выше вытекает, что разница между определителем и грассмановым произведением примерно такая же, как между отвлечённым и именованным числом. В данном случае грассманово произведение играет роль единицы измерения. Само по себе грассманово произведение не число и не вектор, а некий объект, называемый в литературе бивектором.

В пространстве (аналогично случаю плоскости) можно также ввести грассманово произведение трёхвекторов (тривектор), обладающее свойствами линейности и антикоммутативности по каждой паре сомножителей. Аналогично случаю плоскости, можно показать, что:. Иначе говоря, определитель третьего порядка как отвлечённое число есть отношение пропорциональных между собой тривекторови.