§6. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Использование степенных рядов в приближенных вычислениях.

Рассмотрим задачу разложения некоторой функции в степенной ряд.

Пусть задана функция, имеющая на некотором отрезке производные всех порядков, тогда она разлагается на этом отрезке в ряд вида

,

который называется рядом Тейлора.Здесь-- заданное число.

Формально ряд Тейлора можно написать для всякой функции, которая в окрестности точки имеет производные любого порядка. Однако этот ряд будет сходиться к породившей ее функции только при тех значениях, при которых остаток ряда стремиться к нулю:

.

Остаток ряда Тейлора записывается в форме Лагранжа следующим образом:

,

где заключено междуи.

Если , то получаем частный случай ряда Тейлора, который называетсярядом Маклорена:

.

Рассмотрим ряды Маклорена для некоторых элементарных функций.

--

данный ряд называется биномиальным, поскольку при натуральном из него получается бином Ньютона.

Подчеркнем, что степенные ряды для функций сходятся к соответствующим функциям при, а степенные ряды для функцийисходятся лишь при.

Задача №1. Написать разложение в степенной ряд функции.

Решение.В качестве исходной формулы возьмем разложение в ряд Маклорена

функции :

.

Заменим на:

Ответ:

Задача №2. Написать разложение в степенной ряд функции.

Решение. Запишем биномиальный ряд

и сделаем в нем замену :

.

По условию , подставим это значение в предыдущую формулу:

Ответ: .

Степенные ряды широко используются в приближенных вычислениях. Рассмотрим применение рядов Тейлора для приближенного вычисления значений функций, значений определенных интегралов и приближенного решения дифференциальных уравнений.

Задача №3. Вычислитьприближенно с точностью 0,0001.

Решение. Для любогоимеет место формула:

.

При получим

.

Оценим погрешность вычислений с помощью остаточного члена в форме Лагранжа:

.

Так как

, то

,

где лежит междуи.

При имеем

,

где .

Учитывая, что , получим

.

При

.

При

.

Таким образом, для достижения требуемой точности достаточно взять (или более):

.

Каждое слагаемое вычислим с одним дополнительным знаком после запятой, чтобы к нашей ошибке не добавлялись ошибки от округления:

.

Ответ: с точностью 0,0001 .

Задача №4. Вычислитьприближенно с точностью 0,0001.

Решение.Для вычислениябудем использовать биномиальный ряд, который сходится только при, поэтому сначала преобразуем данный корень:

.

В биномиальном ряде положим :

.

Данный знакочередующийся числовой ряд является рядом Лейбница. Чтобы определить, сколько взять первых членов ряда для вычисления с точностью 0,0001, вычислим последовательно несколько первых членов ряда:

.

Согласно свойству ряда Лейбница, если оставить первые три слагаемые, то ошибка искомого приближенного значения корня будет меньше :

,

следовательно,

.

Ответ: с точностью 0,0001

Пусть необходимо посчитать определенный интеграл

от некоторой функции, первообразная которой не вычисляется в элементарных функциях. Следовательно, формулу Ньютона-Лейбница применить не удается. Еслиразложима в степенной ряд на отрезке, принадлежащем области сходимости ряда, то интеграл может быть вычислен приближенно. Иногда приближенного вычисления бывает достаточно и при наличии первообразной функции. Для решения такой задачи используются ряды Тейлора. Рассмотрим примеры.

Задача №5. Вычислить определенный интегралс точностью 0,01.

Решение.Заметим, что этот широко используемый интеграл не выражается в элементарных функциях.

В ряде Маклорена для функции сделаем замену:

.

Теперь воспользуемся теоремой о том, что степенной ряд можно почленно интегрировать по любому отрезку, принадлежащему интервалу сходимости. Данный ряд сходится на всей числовой прямой, следовательно, его можно интегрировать по любому отрезку, в том числе по отрезку :

Мы получили числовой ряд, который равен значению определенного интеграла.

Оценим погрешность вычислений. Данный ряд – это ряд Лейбница, следовательно, погрешность вычислений не превосходит по модулю первого отброшенного члена ряда. Поэтому, вычисляя по порядку члены ряда, первым отбросим тот, который окажется по модулю меньше заданной точности:

,

.

Тогда 024=0,743.

Ответ:0,743.

Задача №6. Вычислить определенный интегралс точностью 0,001.

Решение.Вычислить этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница нельзя, поскольку первообразная функциине выражается в элементарных функциях. Используем для решения задачи степенной ряд. Запишем разложение в ряд Маклорена функции:

.

Сделаем в этой формуле замену:

Данный ряд можно почленно проинтегрировать по отрезку :

Таким образом, вычисляемый определенный интеграл равен сумме знакочередующегося числового ряда, который удовлетворяет условиям признака Лейбница, следовательно, погрешность вычислений не превосходит модуля первого из отброшенных членов ряда.

,.

Поэтому для достижения заданной точности необходимо оставить первые 3 слагаемые.

.

Ответ: .

Задача №7. . Вычислить определенный интегралс точностью 0,001.

Решение.Распишем ряд Маклорена для функции.

.

Тогда

.

Поделим левую и правую часть формулы на :

. Полученный степенной ряд можно почленно проинтегрировать по отрезку.

.

Получившийся числовой ряд сходится по признаку Лейбница, поэтому отбрасываем первым слагаемое, которое меньше объявленной точности:

,.

.

Ответ: .

Рассмотрим еще одно приложение степенных рядов, к приближенному решению дифференциальных уравнений. Решение дифференциального уравнения не всегда можно выразить в элементарных функциях. Интегралы многих дифференциальных уравнений могут быть представлены в виде степенного ряда, сходящегося в некотором интервале значений независимой переменной. В таком случае ряд, являющийся решением дифференциального уравнения можно найти с помощью рядов Тейлора.

Пусть необходимо найти частное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями, т.е. решить задачу Коши.

Проиллюстрируем решение на примере.

Задача №8. Найти первые пять членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям

.

Решение.Будем искать частное решение дифференциального уравнения в виде ряда

.

Мы выбрали разложение в ряд Маклорена, поскольку в условии задачи нам даны значения искомой функции и ее первой производной в точке . Для того, чтобы найти приближенное значение функции, нам необходимо знать значения ее второй, третьей и четвертой производных в точке. Значения самой функции и первой производной в нуле даны по условию.

Значение второй производной при найдем из дифференциального уравнения, подставив начальные условия:

.

Для нахождения третьей производной продифференцируем данное дифференциальное уравнение:

.

При этом необходимо учесть, что -- это функция, а-- независимая переменная:

.

Теперь можно вычислить значение третьей производной в точке :

.

Аналогично вычислим значение четвертой производной:

, или

.

Подставив в найденное равенство значения

получим:

.

Осталось подставить вычисленные в заданной точке значения производных в ряд Маклорена:

.

Ответ: .

Задача №9. Найти первые четыре члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям

.

Решение.Начальные условия заданы в точке, поэтому решение будем искать в виде ряда Тейлора:

.

Значения самой функции и ее первой производной даны в условии задачи. Вторую производную в точке найдем из дифференциального уравнения:

.

Вычислим третью производную, продифференцировав дифференциальное уравнение:

или

.

Тогда значение третьей производной равно

.

Осталось записать искомый ряд:

Ответ: