проблемы защиты информации / Логика высказываний Логика предикатов

4.4.2. Исчисление одноместных предикатов как исчисление классов. Теория категорических суждений и силлогизмов Аристотеля.

Совокупность предметов, на котором одноместный предикат принимает зна- чение «И», называется характеристическим классом.

Используя понятие характеристического класса, можно установить соответст- вие между теорией множеств и исчислением одноместных предикатов. При этом операция конъюнкции двух предикатов будет соответствовать операции пересече- ния их характеристических классов, дизъюнкция – объединению, отрицание – до- полнению и т.д.

Заметим, что множество и класс – не эквивалентные понятия. Для каждого множества можно определить предикат, характеристический класс которого будет совпадать с этим множеством, однако не всякий характеристический класс – мно- жество. Примером класса, не являющегося множеством, является класс Рассела (известный также как парадокс брадобрея), определяемый предикатом: F(x)=x x.

В логике Аристотеля (384–322 до н.э.) и его последователей вплоть до конца XIX столетия основная роль приписывалась четырем видам суждений, называемых «категорическими». Категорическими суждениями в логике Аристотеля называли высказывания о двух классах:

1)общеутвердительное высказывание вида «Все предметы класса P суть предметы класса Q» (Обозначение: A от лат. affirmo – утверждаю);

2)общеотрицательное высказывание вида «Никакие предметы класса P не суть предметы класса Q» (Обозначение: E от лат. nego – отрицаю);

3)частноутвердительное высказывание вида «Некоторые предметы класса P суть предметы класса Q» (Обозначение: I от лат. affirmo – утверждаю);

4)частноотрицательное высказывание вида «Некоторые предметы класса P не суть предметы класса Q» (Обозначение: O от лат. nego – отрицаю).

Пользуясь эквивалентными соотношениями логики предикатов, категориче-

ские суждения можно формализовать следующим образом.

A. x(P(x) Q(x))= x(←P(x) Q(x))= x←(P(x) ←Q(x))=← x(P(x) ←Q(x)), E. x(P(x) ←Q(x))= x(Q(x) ←P(x))= x(←P(x) ←Q(x))=← x(P(x) Q(x)), I. x(P(x) Q(x))= x←(←P(x) ←Q(x))=← x(←P(x) ←Q(x))=← x(P(x) ←Q(x)), O. x(P(x) ←Q(x))=← x(P(x) Q(x)).

Законы формальной логики Аристотеля:

I. Законы отрицания категорических суждений.

←A=O; ←O=A; ←E=I; ←I=E.

II. Законы обращения категорических суждений (обращением называется переста-

новка мест классов P и Q).

E = EΤ , I = I Τ .

III. Законы логики:

A I; E O; ←(A E); ←(E A); ←(I O); ←(O I).

Категорическим силлогизмом называется конструкция из трех категорических суждений о трех классах, в которой третье суждение логически следует из двух первых. При этом первое суждение называется большой посылкой, второе – малой посылкой, а третье – заключением.

Класс, присутствующий в большой и в малой посылках, называется средним. Будем обозначать его буквой P.

Класс, присутствующий в большой посылке и в заключении, называется боль- шим. Будем обозначать его буквой Q.

Класс, присутствующий в малой посылке и в заключении, называется малым. Будем обозначать его буквой S.

Силлогизм называется правильным, если истинность посылок всегда вызыва- ет истинность заключения, независимо от содержания высказываний. Не каждые два суждения могут явиться посылками силлогизма и дать в выводе правильное заключение. Для этого надо соблюсти ряд правил силлогизма:

Правила терминов:

1)терминов должно быть в силлогизме только три;

2)средний термин должен присутствовать хотя бы в одной из посылок;

3)термин, не распределенный в посылке, не может быть распределен в вы- воде.

Правила посылок:

1) из двух отрицательных или частных посылок нельзя сделать никакого за- ключения;

3) если одна из посылок является отрицательным или частным суждением, то и заключение должно быть, соответственно, отрицательным или част- ным суждением.

Аристотель классифицировал все виды силлогизмов по типам (модусам) и выделил из всех модусов правильные. Все модусы он подразделил на 4 группы (фигуры) по расположению классов. Поскольку категорические суждения бывают четырех типов, каждая группа силлогизмов содержит 64 различных модуса. Для запоминания, какие из них правильные, используют мнемонические имена. Поль- зуются этими именами следующим образом. Гласные буквы подставляют в задан- ном этим именем порядке в шаблон группы модусов. Эти буквы означают тип ка- тегорического суждения. Каждая из фигур силлогизма имеет свои правила и на- значения:

В Швеции субтропический климат; Некоторые страны с субтропическим климатом находятся в Африке.

Вывод в этом умозаключении истинный, но он сделан из ложных посылок. Вообще говоря, логически правильных схем рассуждений бесконечное мно-

жество, поэтому если схема рассматриваемого умозаключения отсутствует среди приведенных выше правильных схем это еще не значит, что умозаключение не- верно.

Решим эту же задачу используя аппарат алгебры логики:

Из таблиц истинности этих формул видно, что первая формула ТИФ, а вторая нет. Поэтому правильным является только первое умозаключение. 3

Хотя такой способ проверки правильности рассуждений очень прост и нагля- ден, на практике ограничиться им нельзя. В разговорной речи при построении рас- суждений мы не имеем возможности проверять каждое умозаключение на бумаге. Поэтому важно знать основные схемы правильных умозаключений и при рассуж- дении использовать только те схемы в правильности которых вы уверены (если, конечно, целью беседы не является преднамеренный обман (запутывание) собе- седника). При анализе рассуждений (неформальных доказательств) также удобно помнить (быстро распознавать) наиболее часто встречающиеся схемы правильных рассуждений.

Если среди суждений умозаключения есть предикаты, определенные на бес- конечном множестве, то такой способ проверки правильности рассуждений просто невозможен.

Ограничив использование логических связок до набора логических связок бу- левой алгебры, можно, используя аппарат булевой алгебры, легко упрощать гро- моздкие умозаключения (строить соответствующие минимальные формы).

Значение умозаключения в мыслительном процессе огромно, ибо все положе- ния любой науки есть результат умозаключения (рассуждения).

Умозаключения бывают дедуктивными и недедуктивными:

– дедуктивное умозаключение (лат. deductio – выведение) – умозаключение, в котором из истинности посылок с необходимостью следует истинный вывод;

–недедуктивное умозаключение – умозаключение, имеющее такие связи меж- ду посылками, которые не гарантируют истинности заключения при истинных по- сылках.

Наиболее распространенные недедуктивные умозаключения:

–умозаключение по аналогии (греч. analogia – соответствие, сходство) – это логический вывод, в результате которого достигается знание о признаках одного предмета на основании знания того, что этот предмет имеет сходство с другими предметами;

–индуктивное умозаключение (греч. indictio – наведение)– умозаключение, в котором заключение о свойствах каждого элемента некоторого множества делается на основании изучения свойств его отдельных элементов.

Более подробно о разных видах умозаключений можно прочесть в книге [11]. Пример 44. Определить, являются ли логически правильными следующие

заключения:

1. «Этот человек постоянно живет в Москве или Новосибирске. Он не живет в Москве. Следовательно, он живет в Новосибирске»

2. «Если Иванов отсутствовал в кинотеатре, то он не видел фильма. Иванов не видел фильма. Следовательно, он отсутствовал в кинотеатре»

4Для того чтобы выписать схемы рассуждений обозначим в скобках каждое простое высказывание.

1. «Этот человек постоянно живет в Москве (М) или Новосибирске (Н). Он не живет в Москве ( ←М). Следовательно, он живет в Новосибирске (Н).» Рассужде- ние правильное, так как его схема представляет правило Modus Tollendo Ponens

МН, ←М .

Н

2. «Если Иванов отсутствовал в кинотеатре (A), то он не видел фильма (B).

Иванов не видел фильма (B). Следовательно, он отсутствовал в кинотеатре (A).»

Схема второго рассуждения A B, B . Эта наиболее часто употребимая схема

A

неправильных рассуждений. 3

4.4.4. Основные законы формальной логики. Логические основы аргументации.

Науке издавна известны четыре логических закона (лат. Logos – мысль, мыш- ление, разум) [5]. Еще в IV в. до н.э. известный греческий мыслитель Аристотель открыл три логических закона:

Закон тождества – закон, согласно которому всякое понятие или суждение в процессе некоторого рассуждения должно оставаться тождественным самому себе. Иными словами, в процессе рассуждения нельзя произвольно изменять содержа- ние некоторого понятия, того или иного термина или смысл некоторого высказы- вания.

Закон непротиворечия: два противоположных высказывания об одном и том же предмете не могут быть одновременно истинными в одном и том же отношении или смысле.

Закон исключения третьего: из двух противоречащих друг другу высказыва- ний одно истинно, а второе – ложно.

В XVII в н.э. немецкий философ и математик Лейбниц открыл закон доста- точного основания, который требует, чтобы всякое истинное высказывание было достаточно обосновано другими истинными же высказываниями.

Действию этих законов подчиняются все наши мысли, независимо от кон- кретного содержания этих мыслей.

Доказательством называется логическое действие, в процессе которого ис- тинность какой-либо мысли обосновывается с помощью других мыслей.

Всякое доказательство состоит из трех частей: тезиса, аргументов и демон- страции (способ доказательства) . По способу ведения доказательства бывают

прямые и косвенные.

Рассмотрим условное высказывание A B, где A – конъюнкция посылок, B – заключение. Иногда удобнее вместо доказательства истинности этого условного высказывания установить логическую истинность некоторого другого высказыва- ния, равносильного исходному. Такие формы доказательства называются косвен-

ными методами доказательства.

Одним из них является способ доказательства от противного.

Предположим, что утверждение A B ложно. Тогда, исходя из этого предположе- ния, приходим к противоречию и доказываем, что некоторое утверждение (соот- ветствующее высказыванию C) выполняется и не выполняется одновременно.

Применимость этой формы косвенного метода доказательства оправдывается рав- носильностью A B=←(A B) (C ←C)=(A ←B) (C ←C).

Существуют и другие схемы доказательства от противного:

A B=(A ←B) ←A,

A B=(A ←B) B.

Доказательство по закону контрапозиции, основано на равносильности

A B=←B ←A, то есть вместо истинности A B доказывается истинность ←B ←A.

Разделительное доказательство (метод исключения) – косвенное доказатель-

ство, в котором истинность тезиса устанавливается путем последовательно доказа- тельства ложности (путем последовательного исключения из рассмотрения) всех

Правило переименования связанной переменной. Связанную переменную формулы A можно заменить (в кванторе и во всех вхождениях в области действия квантора) другой переменной, не являющейся свободной в A.

Понятия вывода, теоремы и доказательства определяются в исчислении пре- дикатов точно так же, как и в любой аксиоматической теории.

Теорема 6. Аксиомы исчисления предикатов – общезначимые формулы.

Теорема 7. Формула, получающаяся из общезначимой по любому из правил вывода 1–3, является общезначимой.

Теорема 8. Любая выводимая в исчислении предикатов формула общезначи- ма.

Теорема 9. Исчисление предикатов непротиворечиво.

Теорема Гёделя. Всякая общезначимая формула выводима в исчислении пре- дикатов.

Теорема о дедукции. Если имеется вывод в исчислении предикатов формулы B из последовательности формул Γ, A, то можно построить вывод формулы A B из последовательности формул Γ (символически: Если Γ, A B, то Γ A B, где Γ – набор некоторых формул A1, A2,..., An.