3.3.2. Математическая модель прибора для динамического режима измерений

Структурная схема прибора, показанная на рис. 3.4, соответствует статическому режиму измерений, при котором температура контролируемой среды не изменяется во времени. Если это не так, то следует пересмотреть уравнения всех звеньев и структурную схему прибора. В частности, рассматривая процесс преобразования изменяющейся во времени температуры контролируемой среды в активное сопротивление терморезистора(или, в изменение этого сопротивления), заметим, что этот процесс оказывается, как минимум, двухступенчатым. Сначала температура среды преобразуется в температуру теплочувствительного материала терморезистора (температуру проволоки) и только затем температура преобразуется в изменение активного сопротивления проволоки . При анализе статического режима измерений, вследствие предположения о равенстве температуры среды и температуры проволоки , первый этап этого преобразования не рассматривался.

Соответствующая (уточненная) структурная схема терморезистора показана на рис. 3.6.

(Терморезистор)

Рис. 3.6.

Теперь она содержит два последовательно соединенных звена, отражающих два этапа измерительного преобразования. Здесь - передаточная функция первого звена структурной схемы терморезистора, - коэффициент передачи второго звена.

Для определения уравнения, связывающего температуру проволоки с измеряемой температурой воспользуемся законами, описывающими процесс передачи тепла (теплопередачи) от контролируемой среды к чувствительному элементу терморезистора (проволоке).

Скорость передачи тепла от одного тела, нагретого (или охлажденного) до температуры , к другому телу, имеющему температуру , в первом приближении пропорциональна разности этих температур и площади соприкосновения тел , т.е.

, (3.12)

где - коэффициент конвективного теплообмена; - количество теплоты, передаваемое от более нагретого тела к менее нагретому телу за время. Из этой формулы следует, что, если , то тепло передаётся от среды к проволоке и, наоборот, если - то от проволоки к среде.

Количество теплоты, накопленное теплоприемником за единицу времени пропорционально температуре и массе этого тела, т.е.

, (3.13)

где - удельная теплоемкость и масса теплочувствительного материала терморезистора.

С помощью (3.12) и (3.13) получим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, связывающее измеряемую температуру с температурой проволоки терморезистора в каждый момент времени

,

Это уравнение можно записать в стандартной форме

, (3.14)

где - постоянная времени терморезистора.

Полагая и переходя в (3.14) к изображениям по Лапласу (см. Приложение 1), получим операционное уравнение

,

где - изображения функций соответственно.

Отсюда несложно найти выражение для передаточной функции первого звена структурной схемы терморезистора

. (3.15)

Рассмотренная модель теплообмена является весьма приближенной, так как она не учитывает многих факторов, в том числе:

- наличие в реальной конструкции терморезистора других теплопоглощающих элементов (корпуса, деталей крепления, стойки и др.);

- влияние на чувствительный элемент терморезистора других видов теплового воздействия (лучистого и кондуктивного теплообмена, электрического нагрева и пр.);

- влияние параметров потока среды, контактирующей с терморезистором, на процесс теплообмена и т.д.

Поэтому фактическая передаточная функция первого звена структурной схемы терморезистора может отличаться от (3.15). Учитывая это, формулу (3.15) следует считать приближенной.

Второе звено структурной схемы терморезистора, показанное на рис. 3.6, отражает безынерционное преобразование температуры проволоки в отклонение ее активного сопротивления от начального сопротивления . В соответствии с (3.2) и рис. 3.6, в можно записать

, (3.16)

где - коэффициент чувствительности терморезистора.

Это уравнение не учитывает нелинейность фактической характеристики терморезистора (3.1) и поэтому также является приближенным.

Пренебрегая (как и в случае с терморезистором) нелинейностью характеристики схемы включения (3.3), можно в первом приближении записать

, (3.17)

где - коэффициент чувствительности схемы включения, который можно вычислить по формуле

. (3.18)

В этой формуле следует принять . После вычисления производной получим (см.(3.3))

, (3.19)

т.е. для увеличения чувствительности схемы включения можно увеличить напряжение питания моста , или снизить сопротивление . Однако, эта возможность ограничивается величинойдопустимого тока , протекающего по обмотке терморезистора. Величина этого тока также пропорциональна напряжению питания моста . В свою очередь, увеличение тока сверх допустимого уровня, зависящего от условий теплообмена, может вызывать нежелательный (дополнительный) электрический нагрев обмотки терморезистора, т.е. дополнительную погрешность результата измерений.

Кроме нелинейности функции преобразования схемы включения (3.3), формула (3.17) не учитывает динамических искажений, которые могут возникать в мостовой схеме из-за наличия в ней реактивных элементов (индуктивности обмотки терморезистора и пр.). На практике эти факторы стремятся свести к минимуму (в частности, обмотка терморезистора наматывается бифилярным проводом). Тем не менее, в рамках проводимого анализа считается, что форма напряжения в измерительной диагонали моста совпадает с формой выходного сигнала терморезистора , т.е. предполагается, что схема включения - звено безынерционное. Правомерность такого утверждения проверяется путем сравнения результатов, полученных с помощью математических моделей схемы включения разного уровня сложности, или подтверждается практикой.

Выходной сигнал схемы включения обычно невелик и нуждается в усилении. Как и ранее (см.(3.4)), будем считать, что напряжение на выходе усилителя пропорционально входному напряжению , т.е.

, (3.20)

где - коэффициент усиления усилителя по напряжению. На практике это условие выполняется в случае равномерной АЧХ усилителя в требуемой полосе частот входного сигнала, что, в свою очередь, предъявляет специфические требования к элементной базе и параметрам электрической схемы усилителя У.

Таким образом, построение структурно-математической модели ИУ сопровождается допущениями, которые следует фиксировать, так как их правомерность может быть подвергнута сомнению в случае, если расчетные и фактические результаты недопустимо отличаются друг от друга.

Перейдем к анализу измерительных преобразований, происходящих в указателе Ук. В рассматриваемом приборе его роль выполняет стрелочный вольтметр магнитоэлектрической системы (рис. 3.7).

.

Рис. 3.7.

Опишем происходящие в нем измерительные преобразования. Выходное напряжение усилителя через добавочный резистор , ограничивающий величину тока , подается на рамку 1, расположенную в поле постоянного магнита 2. Магнитопровод 3 служит для выравнивания магнитного потока, пронизывающего активную площадь рамки. Ось рамки скреплена со спиральной пружинкой (на рисунке не показана), имеющей угловую жесткость .

При протекании по рамке тока на нее действует вращающий момент , направление которого определяется правилом левой руки, а величина - пропорциональна току и, значит, напряжению , так как, пренебрегая индуктивностью рамки, можно записать

, (3.21)

где - активное сопротивление рамки, то есть

, (3.22)

где - постоянный коэффициент, зависящий от параметров рамки (ее размеров, числа витков и пр.) и параметров магнитной системы вольтметра (индукции магнитного поля и др.).

Примечание: момент зависит также от направления вектора индукции магнитного поля относительно плоскости рамки, т.е. угла её поворота . Однако здесь это влияние не учитывается, что является очередным допущением при построении математической модели указателя.

Под действием вращающего момента рамка поворачивается на угол до тех пор, пока этот момент не будет уравновешенупругим моментом, пропорциональным углу поворота рамки.

. (3.23)

При вращении рамки на нее кроме упругого момента (3.23) действуют еще инерционный момент, пропорциональный угловому ускорению

, (3.24)

где - момент инерции рамки относительно оси вращения, и демпфирующий момент , пропорциональный угловой скорости вращения рамки

, (3.25)

где - коэффициент демпфирования. Этот момент возникает из-за наведения в движущейся рамке противо эдс индукции.

Примечание 1: при анализе статического режима измерений инерционный и демпфирующий моменты не учитывались, так как они появляются только при вращении рамки.

Примечание 2: помимо перечисленных моментов на рамку действует ещё момент трения . Его величина зависит от конструкции подвеса рамки и на практике им часто можно пренебречь.

Суммируя все моменты, получим обыкновенное линейное дифференциальное уравнение второго порядка,

. (3.26)

В случае равномерной шкалы прибора его показания пропорциональны углу отклонения рамки, т.е.

, (3.27)

где - коэффициент передачи шкалы вольтметра.

Подставляя (3.27) в (3.26), получим дифференциальное уравнение второго порядка, связывающее показания прибора с напряжением на входе указателя

, (3.28)

где - соответственно относительный коэффициент демпфирования и собственная частота указателя; - коэффициент передачи указателя (см. (3.5)). Все эти величины зависят только от параметров указателя

, , . (3.29)

Уравнение (3.26) называется уравнением подвижной системы указателя, а уравнение (3.27) - уравнением шкалы прибора.

Структурную схему указателя (подобно структурной схеме терморезистора на рис. 3.8) можно представить в виде последовательного соединения двух звеньев, одно из которых (подвижная система указателя) является инерционным, а второе (шкала) - безынерционным, или одним инерционным звеном (указателем) с передаточной функцией звена второго порядка

. (3.30)

Объединяя полученные результаты, изобразим полную линеаризованную структурную схему рассматриваемого прибора (рис. 3.8).

В отличие от рис. 3.4, два звена прибора (терморезистор ТР и указатель Ук) являются инерционными. Остальные звенья прибора (схема включения СВ и усилитель У) по - прежнему считаются безынерционными. Правомерность подобных допущений (как и достоверность математической модели ИУ в целом) подтверждается в результате сравнения расчетных и фактических результатов измерений.

Рис. 3.8.

Проведем первичный анализ полученных результатов. Общая передаточная функция прибора, равная произведению передаточных функций всех его звеньев, приводится к передаточной функции квазистатического ИУ третьего порядка

, (3.31)

где - постоянные времени терморезистора и указателя; - относительный коэффициент демпфирования подвижной системы указателя; - общий коэффициент чувствительности прибора, равный произведению коэффициентов чувствительности всех его звеньев

. (3.32)

Зная передаточную функцию прибора (3.31), можно написать операционное уравнение

. (3.33)

Если раскрыть скобки в этом уравнении и заменить комплексную переменную оператором дифференцирования, то получим обыкновенное линейное дифференциальное уравнение третьего порядка, связывающее показания приборас мгновенным значением измеряемой температурыдля каждого момента времени

. (3.34)

Это уравнение называется дифференциальным уравнением прибора. Оно справедливо при выполнении всех допущений, сделанных при его получении.

При проектировании ИУ необходимо выполнить все требования технического задания. Одним из таких требований является равенство , равносильное условию (3.8). Другие условия вытекают из требований, предъявляемых к показателям динамической точности прибора (например, требований к длительности и(или) форме переходного процесса, ширине полосы пропускания частот и пр.). Выбор этих требований зависит от характеристик измерительного сигнала (статистических, спектральных, корреляционных и др.), т.е. – от предполагаемого характера зависимости температуры контролируемой среды от времени. Как показано ниже (в разделе 6.2.2), зная эти требования, можно определить соответствующие желаемые значения параметров и передаточной функции прибора (3.31). В результате появляются условия (и уравнения), которым следует подчинить выбор физических параметров схемы и конструкции элементов прибора, влияющих на параметры его передаточной функции.

Часто вариация значений этих параметров невозможна. Например, терморезистор и указатель (вольтметр) могут быть «покупными» изделиями, т.е. иметь жестко фиксированные параметры и характеристики (в том числе нелинейные) . В этом случае в схему прибора можно вводить дополнительное устройство (корректирующее звено), изменяющее передаточную функцию (3.31) и статическую характеристику прибора (3.6) таким образом, чтобы все требования, наложенные на выходные характеристики прибора, выполнялись. Тогда задача расчета и проектирования всего прибора сводится к расчету и проектированию только его изменяемой части - корректирующего звена (см. раздел 6.2.2.1).

Кроме такой «физической» коррекции выходных характеристик, в современных измерительных приборах широко применяется алгоритмическая коррекция результатов измерений (раздел 6.3.2.2). В этом случае прибор содержит программируемое цифровое устройство (микроконтроллер), в котором осуществляется вычисление результатов измерений с использованием алгоритмов, исключающих не только нелинейность статической характеристики прибора, но и динамические искажения формы измерительного сигнала, обусловленные инерционностью звеньев прибора. При проектировании таких устройств существенное значение приобретают алгоритмы обработки результатов преобразований, происходящих в аналоговой части прибора, и способы схемной реализации цифровой части прибора.