3.3.1. Математическая модель прибора для статического режима измерений

Опишем в математической форме преобразования измерительного сигнала, полагая, что температура контролируемой среды не изменяется во времени.

Зависимость сопротивления металлического терморезистора от температуры с достаточной для практики точностью описывается отрезком степенного ряда

, (3.1)

где - сопротивление проволоки при температуре , зависящее от ее размеров и свойств материала; - постоянные коэффициенты, значения которых (как и степень полинома ) определяют по результатам градуировки терморезистора. В этом случае зависимость (3.1) называется градуировочной характеристикой терморезистора. Чем больше степень полинома, тем точнее эта зависимость отражает статическую характеристику терморезистора.

В формуле (3.1) переменная может обозначать отклонение температуры контролируемой средыот некоторой температуры , принимаемой за нормальную температуру (например, от температуры ). В этом случае , - сопротивление терморезистора при нормальной температуре .

В диапазоне средних температур ( ) для медных терморезисторов можно принять , , т.е. статическую характеристику медного терморезистора в этом диапазоне температур можно считать линейной. При увеличении температуры на 10 градусов сопротивление такого терморезистора увеличивается на 4,28 %. Для платиновых терморезисторов , , , для никелевых - , , , т.е. их статические характеристики в диапазоне средних температур нелинейные.

Более подробные сведения о результатах градуировки терморезисторов общепромышленного назначения можно найти из справочных данных. Эти данные следует рассматривать как усредненные для множества терморезисторов, которые могут отличаться друг от друга (например, составом микропримесей теплочувствительного материала). Поэтому при высоких требованиях к точности результатов измерений пользуются индивидуальной градуировочной статической характеристикой терморезистора, которая в общем случае является нелинейной. Однако, в целях упрощения последующего анализа и считая, что диапазон изменения температуры контролируемой среды незначительный, будем пренебрегать нелинейными членами в формуле (3.1), т.е. считать, что зависимость сопротивления терморезистора от измеряемой температуры имеет вид

, (3.2)

где - постоянные коэффициенты. Их значения можно определить, рассматривая (3.2) как уравнение аппроксимирующей прямой: прямой наименьших модулей или прямой наименьших квадратов (см. раздел 4.5).

Отклонение фактической характеристики терморезистора (3.1) от линейной характеристики (3.2) можно учесть в погрешности от нелинейности статической характеристики прибора при расчете суммарной погрешности измерений (см. раздел 9.2.5). Если эта погрешность превышает допустимое значение, то ее уменьшение – одна из задач проектирования прибора.

Примем, что сопротивления остальных трех плеч моста не зависят от температуры и равны друг другу по величине, а их номинальные значения равны начальному сопротивлению терморезистора, т.е. . В этом случае мост является равноплечим. При температуре (когда ) мост оказывается уравновешенным и напряжение в его измерительной диагонали аb равно нулю . Если , то мост разбалансирован. Тогда в измерительной диагонали моста появляется напряжение , которое является частью напряжения питания моста . Величина и знак этого напряжения зависят от степени и направления разбаланса моста, т.е. от величины сопротивления терморезистора . Для принятой схемы включения терморезистора эта зависимость имеет вид [28]

, (3.3)

где - сопротивление нагрузки моста (входное сопротивление усилителя).

Напряжение с помощью усилителя У с коэффициентом усиления по напряжению усиливается до величины

(3.4)

и подается на указатель УК, со шкалы которого считывается показание прибора . Роль указателя выполняет вольтметр, шкала которого отградуирована в единицах температуры контролируемой среды. Если шкала указателя равномерная, то его показания пропорциональны напряжению , т.е.

, (3.5)

где - коэффициент передачи вольтметра.

Цепь четырех рассмотренных преобразований можно представить последовательностью пяти физических величин , функциональной схемой прибора (рис. 3.4,а) или структурной схемой прибора (рис. 3.4, б) в виде последовательного соединения четырех звеньев: терморезистора (ТР) с характеристикой , схемы включения (СВ) с характеристикой , усилителя У с характеристикой и указателя (Ук) с характеристикой .

Полученная схема является условным графическим изображением структурно-математической модели прибора для статического режима измерений. Первые два звена этой схемы имеют нелинейные статические характеристики, последние два - линейные пропорциональные характеристики. Все звенья прибора считаются безынерционными.

Рис. 3.4. Схемы прибора: а – функциональная, б - структурная

Проведем первичный анализ полученных результатов. Осуществляя подстановки (3.2) (3.3) (3.4) (3.5), можно определить общую расчетную статическую характеристику прибора, т.е. найти зависимость его показаний от измеряемой температуры. Вследствие нелинейности статической характеристики схемы включения (3.3), эта характеристика также оказывается нелинейной. С учетом допущения (3.2) она приводится к виду

, (3.6)

где - постоянные коэффициенты, зависящие только от параметров прибора

, . (3.7)

С другой стороны, показания термометра в каждой точке диапазона измерений должны быть равны измеряемой температуре. Поэтому желаемая статическая характеристика прибора имеет вид

. (3.8)

Следовательно, выбор параметров прибора следует подчинить, как минимум, двум условиям (см. (3.6)): и . Выполнение первого условия можно всегда обеспечить, подбирая соответствующее значение коэффициента усиления усилителя по напряжению (см. (3.7)). Второе условие выполнить строго невозможно т.к. . Поэтому выбор коэффициентов и, следовательно, физических параметров прибора, влияющих на значения этих коэффициентов, нужно подчинить следующему условию: погрешность приближения не должна превышать заданного значения. Эта погрешность представляет собой разность между расчетной и желаемой статическими характеристиками прибора, т.е. имеет вид

. (3.9)

Если , то необходимые значения коэффициентов зависимости (3.6) можно вычислить по формулам [28]

, , (3.10)

где - допустимое значение приведенной погрешности приближения (3.9), - безразмерный параметр, зависящий только от

. (3.11)

В этом случае желаемая и расчетная статические характеристики прибора такие, как показано на рис. 3.5. Желаемая характеристика (3.8) показана пунктиром, расчетная характеристика (3.6) – сплошной кривой. При выполнении соотношений (3.10) погрешность приближения (3.9) равномерно распределена по диапазону измерений , т.е. ее максимальные значения и равны друг другу. Если , то лучше отказаться от равноплечего моста (условия ), так как в этом случае можно добиться более равномерного распределения погрешности приближения (3.9) по диапазону измерений [28].

Рис. 3.5.

Из проведенного краткого анализа видно, что наличие структурно - математической модели ИУ (в данном случае - его расчетной статической характеристики (3.6)) позволяет непосредственно перейти к решению задач проектирования прибора, т.е. выбору таких значений его параметров, при которых прибор имеет желаемые выходные характеристики (в данном случае - желаемую статическую характеристику (3.8)).