125

Глава 3. Разработка математической модели иу

Проектирование базируется на математическом описании объекта проектирования (измерительного устройства) и требует создания его математической модели. Наличие такой модели позволяет выбирать структуру и параметры объекта проектирования, подчиняя их выбор требованиям технического задания.

Математическая модель ИУ создается на начальных стадиях проектирования и затем уточняется, если обнаруживается несоответствие этой модели и объекта проектирования. Трудно переоценить важность этапа ее разработки, так как достоверность созданной модели оберегает от последующих неверных проектных решений.

3.1. Этапы разработки математической модели иу

Математическую модель ИУ получают в результате описания преобразований измерительного сигнала. Поэтому первым этапом в разработке этой модели является декомпозиция ИУ, т.е. расчленение средства измерений на звенья, каждое из которых выполняет отдельное измерительное преобразование. На этом этапе важно правильно установить последовательность преобразований, следуя которой измеряемая физическая величина преобразуется в результат измерения. Такая последовательность целиком зависит от выбранного метода измерений и схемы создаваемого ИУ, однако степень ее детализации может быть различной, так как понятие «звено» может охватывать любую часть ИУ и даже те преобразования, которые осуществляются вне физической схемы ИУ . Последнее характерно для ИУ, реализующих косвенный метод измерения, когда значение измеряемой величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, подвергаемым прямым измерениям, а также в тех случаях, когда для получения результатов измерений необходима коррекция показаний прибора. Результатом декомпозиции является функциональная схема ИУ, поясняющая состав функционально необходимых звеньев ИУ и связи между ними.

На втором этапе каждое измерительное преобразование описывается физическими законами или соотношениями, которые отражают объективно существующие связи между величинами, участвующими в этом преобразовании. Поэтому одним из условий успешного создания математической модели ИУ является знание физических законов и умение правильно их использовать для описания процессов в устройствах различной физической природы: механических, электрических, электромагнитных, тепловых, гидравлических и т.д. Результатом этого этапа является система уравнений (алгебраических, дифференциальных, логических и других), описывающих связи между входными и выходными сигналами звеньев ИУ . Если аналитическое описание невозможно, то эти связи могут задаваться в графической или табличной формах. При необходимости они могут приниматься в виде желаемой зависимости величин на входе и выходе звена. В этом случае получение нужной зависимости является одной из задач проектирования соответствующего звена ИУ.

В уравнения звеньев, помимо входного и выходного сигналов, входят величины (параметры, коэффициенты и пр.), зависящие от параметров звена. Поэтому, зная математическую модель звена, можно судить о влиянии параметров этого звена на результат измерительного преобразования и, значит, подчинять выбор этих параметров (т.е. проектирование ИУ) желаемым результатам. Именно это составляет главную ценность математической модели ИУ.

По завершение второго этапа уравнения всех звеньев ИУ приводятся к форме, удобной для последующего построения математической модели ИУ в целом. При этом нелинейные уравнения могут заменяться приближенными линейными уравнениями. Процесс подобной замены называется линеаризацией. Используемые при этом допущения и предположения нужно фиксировать, так как с их помощью можно сформулировать условия, при выполнении которых построенная математическая модель ИУ является достоверной.

Следует подчеркнуть, что линеаризация уравнений звеньев ИУ является необходимой лишь в той степени, в какой это нужно для построения приемлемой математической модели ИУ и ее последующего анализа доступными средствами так как некоторых случаях линеаризация этих уравнений может приводить к утрате существенных особенностей измерительных преобразований. Поэтому при разработке математической модели ИУ полезно строить различные модели его звеньев, начиная с простейших моделей, которые при необходимости можно постепенно усложнять, чтобы учесть те явления или связи, которые на начальном этапе были отброшены как несущественные. Заметим также, что возможна взаимная компенсация нелинейностей характеристик отдельных звеньев ИУ. В этом случае линеаризация уравнений этих звеньев может оказаться излишней.

На третьем, завершающем, этапе полученную систему уравнений представляют в виде структурной схемы измерительного устройства (ССИУ). Эта схема является условным графическим изображением математической модели ИУ. В современной теории динамических систем использование структурных схем превратилось в своеобразный «язык», помогающий интерпретировать процессы, происходящие в реальных устройствах и правильно выбирать параметры этих устройств. Поэтому «доведение» математической модели ИУ до его структурной схемы, называемое структуризацией , является важным этапом создания этой модели.

Таким образом, процесс создания математической модели ИУ содержит, как минимум, три основных этапа: декомпозиция, математическое описание и структуризация (табл. 3.1).

Параметры математической модели зависят от физических параметров схемы и конструкции создаваемого ИУ. Поэтому последующий обратный переход от математической модели ИУ к его физической схеме позволяет выбирать такие значения этих параметров (а иногда и конструкцию) звеньев ИУ, при которых объект проектирования приобретает желаемые характеристики. Этот переход составляет основу расчета и проектирования ИУ.

Таблица 3.1

Этапы разработки математической модели ИУ

№	Название этапа	Результат этапа
1	Декомпозиция	Функциональная схема
2	Математическое описание	Система уравнений
3	Структуризация	Структурная схема