5.2.5. Частотные динамические характеристики иу

Переходная и весовая функции являются временны'ми динамическими характеристиками (функциями времени). Они описывают реакцию ИУ на типовые ступенчатый и, соответственно, импульсный входные сигналы. Такие измерительные сигналы являются типичными для определенных групп ИУ. В частности, импульсный сигнал типичен для приборов, предназначенных для измерения кратковременно действующих величин. Такой сигнал возникает, например, при ударном воздействии. Ступенчатый сигнал типичен для приборов, с помощью которых измеряют величины, не изменяющиеся во времени. Такой сигнал возникает, например, при нагружении грузоприемной платформы весов (товарных, медицинских и др.) массой взвешиваемого груза. При проектировании подобных ИУ переходная и весовая характеристики оказываются первостепенными динамическими характеристиками.

В свою очередь, частотные динамические характеристики, рассматриваемые ниже, оказываются первостепенными для тех ИУ, которые предназначены для измерения изменяющихся во времени физических величин, особенно таких величин, которые изменяются по гармоническому (или близкому к нему) закону (например, вибраций каких - либо объектов), когда

, (5.41)

где - соответственно амплитуда и частота измерительного сигнала.

Наличие в (5.41) единичного множителя означает, что гармонический сигнал поступает на вход ИУ в момент, который принимается за начало отсчета времени (см. рис. 5.11).

Определим соответствующий выходной сигнал ИУ , полагая, что известна передаточная функция ИУ. При этом будем считать, что амплитуда входного сигнала равна единице, т.е..

В этом случае, согласно (5.36), имеем

, (5.42)

где ,,.

Отсюда видно, что выходной сигнал ИУ, соответствующий входному сигналу (5.41), описывается весьма сложной функцией времени и частоты. Однако, с течением времени она приближается к более простойгармонической функции времени

, (5.43)

где - коэффициенты, которые вустановившемся режиме зависят только от частоты входного сигнала ине зависят от времени . Действительно, приполучаем

, . (5.44)

Поэтому в установившемся режиме измерений вместо (5.42) можно записать

, (5.45)

где - соответственно амплитуда и угол сдвига фаз установившегося выходного сигнала, зависящие от частотывходного сигнала. Эта зависимость имеет вид

, . (5.46)

Если известна передаточная функция ИУ , то вместо (5.46) можно записать

, (5.47)

, (5.48)

где при вычислении функции необходимо учитывать правила (7.49).

На рис. 5.7 показан процесс установления выходного сигнала ИУ. Видно, что в переходном режиме имеет место сопротивление внешнему воздействию. Это проявляется в том, что, несмотря на нулевые начальные условия, в выходном сигнале имеются так называемые сопровождающие свободные колебания, которые с течением времени затухают. В зависимости от параметров ИУ характер этого затухания может быть различным (на рис. 5.7 затухание апериодическое), а его длительность соизмерима с длительностью переходного процесса . В любом случаеустановившийся выходной сигнал ИУ оказывается гармоническим. Он имеет ту же частоту , что и входной сигнал, но другие амплитуду и начальную фазу, которые зависят от частоты входного сигнала.

Рис. 5.7.

В формулах (5.47) и (5.48) используется комплексная частотная функция ИУ (КЧФ), которую можно получить, если в выражении (5.7) принять, т.е.

. (5.49)

Эту комплексную функцию частоты можно записать в виде

,

где - соответственно вещественная и мнимая частотные характеристики ИУ. Их можно вычислить по формулам

, (5.50)

, (5.51)

где ивычисляются по формулам (5.47) и (5.48).

Для физически реализуемых ИУ должно выполняться условие . Если , то при неограниченном возрастании частоты входного сигнала (5.41) амплитуда установившегося выходного сигнала ИУ (5.47) также неограниченно возрастает. В физически реализуемом устройстве этого быть не может. Случайописан ниже на примере сейсмического виброметра (см. рис. 5.17).

Если в полярной системе координат для каждого значения частоты  в качестве радиус - вектора откладывать амплитуду , а в качестве полярного угла - угол сдвига фаз, то получится кривая, которая называетсяамплитудно - фазовой частотной характеристикой ИУ. В декартовой системе координат для получения этой кривой нужно по оси абсцисс откладывать значения функции , а по оси ординат - значения функции(см. рис. П2.7,в).

Функцияназываетсяамплитудно-фазовой частотной функцией. Она является полной динамической характеристикой ИУ.

Модуль КЧФ (5.47) называетсяамплитудной частотной функцией ИУ, а её график - амплитудно - частотной характеристикой (АЧХ). Аргумент КЧХ (5.48) называетсяфазовой частотной функцией ИУ, а ее график - фазо - частотной характеристикой (ФЧХ).

Физический смысл этих характеристик ИУ заключается в том, что они определяют параметры иустановившегося гармонического сигнала (5.45), т.е. такого сигнала, который устанавливается на выходе ИУ при действии на его входе гармонического сигналаединичной амплитуды.

При экспериментальном определении частотных характеристик ИУ амплитуда входного сигнала может отличаться от единицы, а его начальная фаза- от нуля. В этом случае вместо (5.47) и (5.48) нужно записать

и , (5.52)

т.е. в общем случае АЧХ описывает изменение отношения амплитуд, а ФЧХ - угла сдвига фазы установившегося выходного сигнала ИУ относительно фазы входного гармонического сигнала в зависимости от частоты  этого сигнала.

Используя общее решение (5.42), можно описать процесс установления выходного сигнала ИУ. В частности, если частота входного сигнала (5.41) совпадает с резонансной частотой ИУ, соответствующей максимуму АЧХ (см. рис. П2.7,а), то процесс нарастания амплитуды выходного сигнала (5.42), называемый резонансом, в первом приближении происходит по экспоненциальному закону (рис. 5.8).

Рис. 5.8.

В этом случае для огибающей выходного сигнала можно записать, где- резонансная амплитуда, т.е.

(5.53)

Точное решение (5.42) в случае резонанса при имеет вид

, (5.54)

где - относительный коэффициент демпфирования;- собственная частота ИУ.

С помощью (5.53) можно определить время , по истечении которого огибающая выходного сигнала достигнет заданного значения(рис. 5.8)

. (5.55)

Например, если , то, т.е., чем меньше произведение, тем больше время установления гармонического сигнала на выходе ИУ.

Амплитудную частотную функцию ИУ с передаточной функцией (5.7) можно представить в виде

, (5.56)

где - постоянные коэффициенты, зависящие только от параметров ИУ. Из этой формулы видно, что квадрат АЧХ линейного ИУ представляет собой четную дробно - рациональную функцию квадрата частоты.

Из формулы (5.11) следует, что АЧХ позиционного ИУ можно записать в виде

, (5.57)

где - коэффициент чувствительности ИУ;-безразмерная относительная (нормированная) амплитудная частотная функция ИУ, вычисляемая по формуле

. (5.58)

Размерность АЧХ совпадает с размерностью коэффициента чувствительности ИУ.

Функция обладает свойством. Ее график называетсяотносительной амплитудно - частотной характеристикой ИУ. Этот график и график обычной АЧХ (5.57) подобны друг другу.

На рис. 5.9 показаны возможные формы этого графика для квазистатических ИУ относительно невысокого порядка, у которых m = 0, .

Рис. 5.9.

В зависимости от его формы различают следующие виды АЧХ позиционных ИУ: идеальная (4); пологая (монотонная) (2); резонансная (одногорбая) (1); двугорбая (3).

Чем выше порядок характеристического уравнения ИУ, тем более разнообразными оказываются возможные формы АЧХ . Так, в зависимости от значений параметров, в квазистатическом ИУ третьего порядка возможны все показанные на рис. 5.9 формы АЧХ, в квазистатическом ИУ второго порядка - только пологие и одногорбые АЧХ, а в квазистатическом ИУ первого порядка - только пологие.

Известна формула, связывающая переходную функцию ИУ минимально - фазового типа с его частотными характеристиками

. (5.59)

Вычисление переходного процесса с использованием этой формулы лежит в основе так называемого метода трапеций [20].

Фазо - частотная характеристика ИУ минимально - фазового типа связана с амплитудно - частотной характеристикой такого ИУ преобразованием Гильберта

, (5.60)

где ,- переменная интегрирования, имеющая размерность круговой частоты. Отсюда следует, что АЧХ минимально-фазового ИУявляется его полной динамической характеристикой .