5.2.4. Весовая функция иу

Определение:

Весовой (или импульсной переходной) функцией называется функция времени, описывающая реакцию ИУ на единичное импульсное входное воздействиеx(t) = (t) при нулевых начальных условиях.

Таким воздействием может служить прямоугольный импульс единичной площади, имеющий бесконечно малую длительность и, соответственно, бесконечно большую амплитуду(рис. 5.6).

Изображение по Лапласу весовой функции равно передаточной функции ИУ, т.е.

. (5.33)

Поэтому вместо формулы (5.5) можно записать

. (5.34)

а б

Рис. 5.6.

Учитывая, что оригиналом произведения изображений является свертка оригиналов сомножителей (см. Приложение 1, теорема умножения (П1.13)), получим

, (5.35)

где - символ математической операции, означающей свертку функций. Отсюда следует, что, зная весовую функцию, можно определить реакцию ИУ на любой входной сигнал, т.е.- полная динамическая характеристика ИУ.

Из двух приведенных формул обычно пользуются первой формулой

. (5.36)

Она объясняет происхождение названия весовой функции – эта функция, действительно, определяет «вес», с которым значения входного сигнала в предшествующие моменты времени влияют на значение выходного сигналаy(t) в данный момент времени t. Из этой формулы следует также, что выходной сигнал ИУ не может предшествовать входному сигналу.

Перечислим основные свойства весовой функции ИУ.

Свойство 1. Зная весовую функцию, можно определить передаточную функцию ИУ по формуле

и наоборот , (5.37)

т.е. изображением весовой функции является передаточная функция ИУ и, наоборот, оригиналом передаточной функции является весовая функция ИУ.

Свойство 2. Весовая и переходная функции ИУ связаны друг с другом взаимообратными соотношениями

и , (5.38)

т.е., зная весовую функцию и интегрируя ее, можно определить переходную функцию ИУ и наоборот, зная переходную функцию и дифференцируя ее, можно определить весовую функцию.

Свойство 3. Подобно (5.23), весовую функцию позиционного ИУ можно записать в виде

, (5.39)

где - коэффициент чувствительности ИУ;- относительная весовая функция ИУ, вычисляемая по формуле

(5.40)

и обладающая свойством ,

Отсюда следует, что площадь под графиком нормированной весовой функции позиционного ИУ равна единице, а площадь под графиком обычной (ненормированной) весовой функции такого ИУравна коэффициенту чувствительности ИУ.

Размерность относительной весовой функции есть.

График весовой функции называется импульсной переходной характеристикой ИУ.