5.2.3. Переходная функция иу

Определение:

Переходной функцией ИУ называется функция времени , описывающая реакцию ИУ на единичное ступенчатое входное воздействиепри нулевых начальных условиях .

Изображение по Лапласу такой функции можно вычислить по формуле

. (5.21)

Поэтому

, (5.22)

т.е. расчет переходной функции ИУ, имеющего известную передаточную функцию , сводится к определению изображения (5.21) и поиску соответствующего оригинала (5.22).

На рис. 5.3 кривой 1 показан результат такого расчета для ИУ с передаточной функцией (5.20). Штрихпунктирной кривой 2 показан график переходной характеристики соответствующего квазистатического ИУ с передаточной функцией (см. (5.27)).

Видно, что наличие у передаточной функции ИУ нулей привело к появлению в переходном процессе перерегулирования и колебательности.

Подобно (5.11), переходную функцию позиционного ИУ можно записать в виде

, (5.23)

где - коэффициент чувствительности ИУ;- безразмерная относительная (нормированная) переходная функция ИУ, вычисляемая по формуле

, (5.24)

где - операторная часть передаточной функции ИУ (см. (5.13)).

Рис. 5.3.

Размерность переходной функции совпадает с размерностью коэффициента чувствительности ИУ.

График переходной функции называетсяпереходной характеристикой ИУ. Этот график и график относительной переходной функции подобны друг другу, т.е. имеют одинаковую форму .

На рис. 5.4 показаны относительные переходные характеристики квазистатических ИУ невысокого порядка, у которых m = 0, .

В зависимости формы этой характеристики различают пять видов переходных процессов: идеальный (1); монотонный (2); колебательный (3); монотонно - периодический (4) и апериодический (5) .

Колебательный переходный процесс 3 отличается наличием поочередных пиковых отклонений от установившегося уровня (колебаний), которые с течением времени уменьшаются, апериодический переходный процесс 5 имеет не более одного такого колебания, а монотонный переходный процесс 2 их не имеет вовсе. Монотонно-периодический переходный процесс 4 подобен сумме колебательного и монотонного процессов.

Рис. 5.4.

Чем выше порядок характеристического уравнения ИУ , тем более разнообразными оказываются возможные в нем формы переходных процессов. Так, в зависимости от значений параметров, в квазистатическом ИУ третьего порядка возможны все формы переходных процессов, показанные на рис. 5.7,в, в квазистатическом ИУ второго порядка - только монотонный и колебательный переходные процессы, а в квазистатическом ИУ первого порядка - только монотонный переходный процесс .

Позиционные ИУ общего вида, у которых иобладают еще большим разнообразием форм переходных процессов. Если известная переходная функция соответствующего квазистатического ИУ

, (5.25)

то переходную функцию ИУ общего вида (с передаточной функцией (5.7)) можно вычислить по формуле

, где , (5.26)

т.е. расчет переходного процесса в таком (сложном) ИУ сводится к расчету переходного процесса в соответствующем простом ИУ.

Например, переходную функцию ИУ с передаточной функцией (5.20) можно вычислить по формуле

,

где

. (5.27)

Из графиков на рис. 5.4 может сложиться неверное впечатление о том, что переходная характеристика ИУ всегда «выходит из начала координат» (из точки ) и обязательно с нулевым значением правой производной. Это впечатление может сложиться также из приведенного выше определения переходной функции ИУ, где присутствует фраза «... при нулевых начальных условиях.» . На самом деле такими свойствами обладают переходные функции только тех ИУ, у которыхи. Если же, то переходная функция ИУ может прииметь скачок и(или) ненулевое значение правой производной. Это связано с наличием операций дифференцирования входного ступенчатого сигнала в правой части дифференциальных уравнений таких ИУ.

В качестве примера на рис. 5.5 показана переходная характеристика ИУ с передаточной функцией , для которой. Видно, что в таком ИУ приимеется скачок.

Рис. 5.5.

Переходная функция ИУ обладает двумя важными свойствами:

Свойство 1. На основании теоремы о предельных значениях (см. Приложение 1)

, . (5.28)

Поэтому установившееся значение переходной функции (если оно существует) равно коэффициенту чувствительности ИУ , т.е.

. (5.29)

Соответствующее свойство относительной переходной функции позиционного ИУ можно записать в виде

. (5.30)

Свойство 2. Зная переходную функцию ИУ , можно определить передаточную функцию ИУпо формуле (см. табл. 5.2)

, (5.31)

где - изображение по Лапласу переходной функции ИУ.

Это означает, что, зная реакцию ИУ на единичный скачок , можно определить реакцию ИУ на детерминированный сигналлюбой другой формы. Именно по этой причине переходная функция является полной динамической характеристикой ИУ.

В заключение приведем формулу, непосредственно связывающую входной и выходной сигналы с помощью переходной функции ИУ

(5.32)