8.3. Преобразование случайного сигнала

Преобразование случайного сигнала может быть безынерционным или инерционным. В первом случае оператором преобразования является статическая функция преобразования ИУ (4.1), во втором - дифференциальное уравнение (5.1) или его аналог - передаточная функция ИУ (5.7).

8.3.1. Безынерционное преобразование случайного сигнала

Пусть на вход нелинейного безынерционного ИУ с известной функцией преобразования поступает случайный сигнал, одномерная ПРВ котороготакже известна.

П р и м е ч а н и е: В рассматриваемом случае зависимость ПРВ от времени не принципиальна (из-за безынерционности ИУ). Поэтому вместо обозначения будем использовать обозначение.

Требуется определить статистические характеристики выходного сигнала: ПРВ , математическое ожиданиеи дисперсию.

Пусть функция обладает свойствомизоморфизма, т.е. существует однозначная обратная функция (рис. 8.5)

. (8.40)

В этом случае событие равносильно событию, что означает равенствовероятностей этих событий.

Поэтому площади заштрихованных фигур на рис. 8.5 равны друг другу, т.е.

. (8.41)

Из этого уравнения можно определить ПРВ выходного сигнала

, или . (8.42)

Применение в формулах (8.42) модуля производной обратной характеристики ИУ гарантирует выполнение условия в случае, когда статическая характеристика ИУмонотонно убывающая.

Рис. 8.5.

Зная ПРВ выходного сигнала, можно определить все статистические характеристики этого сигнала, в том числе его математическое ожидание и дисперсию

, . (8.43)

Их можно вычислить также по формулам (7.79), не требующим знания функции , что можно использовать для контроля правильности расчетов.

Если обратная статическая характеристика ИУ является неоднозначной и имеет N ветвей, то вместо формулы (8.42) нужно пользоваться общей формулой [2]

, (8.44)

где -k - ая ветвь обратной статической характеристики ИУ (8.40).

При правильных расчетах должно выполняться условие нормировки ПРВ (7.72).

8.3.2. Инерционное преобразование случайного сигнала

Пусть на вход линейного инерционного ИУ с известной передаточной функцией поступаетцентрированный стационарный случайный сигнал с известным энергетическим спектром, или с известной АКФ. Требуется определить статистические характеристики выходного сигнала: энергетический спектр, АКФи дисперсию.

Подобно реакции ИУ на гармонический входной сигнал, рассмотренной в разделе 5.2.5, установившийся выходной сигнал ИУ также как и входной сигнал является стационарным и центрированным. Энергический спектр этого сигнала можно определить по формуле

, (8.45)

где - амплитудная частотная функция ИУ, а его автокорреляционную функцию- по формуле

, (8.46)

где - весовая функция ИУ, или по другой (более простой) формуле

. (8.47)

В последнем случае нужно предварительно определить энергетический спектр выходного сигнала по формуле (8.45).

Дисперсию установившегося выходного сигнала можно вычислить также по одной из двух формул:

, (8.48)

. (8.49)