148

Глава 9. Анализ точности иу на стадии проектирования

9.1. Уравнение погрешности измерений

Абсолютная погрешность средства измерений определяется как алгебраическая разность между показанием средства измерений и истинным значением измеряемой физической величины , т.е.

. (9.1)

Отношение называется относительной погрешностью. Чем меньше , тем выше точность средства измерений.

При экспериментальной оценке погрешности прибора вместо истинного значения измеряемой величины в формуле (9.1) используют действительное значение этой величины, которое воспроизводится специальным устройством, называемым мерой, а в качестве - показание прибора. При разработке прибора в качестве принимают то значение измеряемой величины, которое соответствует используемой модели измерительного сигнала (7.1), а в качестве - оценку результата измерений, которую определяют расчетным путем. Поэтому на стадии проектирования получают расчетную оценку погрешности прибора, которая тем ближе к экспериментальной оценке, чем точнее модель измерительного сигнала отражает объект измерений, модель прибора – создаваемое средство измерений и фактические условия эксплуатации.

На рис. 9.1 показана схема формирования погрешности (9.1), учитывающая взаимодействие средства измерений с окружающей средой [12]. Эта схема пригодна для оценки погрешности разных средств измерений. Пунктирной линией обведена та часть схемы, которая отражает эквивалентную схему измерительного прибора (ИП). В этом случае - показание прибора, - абсолютная погрешность ИП. Если оценивается погрешность измерительного преобразователя (ИПр), то ему соответствует часть схемы рис. 9.1, обведённая штрихпунктирной линией. В этом случае - выходная величина ИПр, - показание ИПр, приведенное ко входу преобразователя, а - абсолютная погрешность ИПр.

Рис. 9.1.

Звено ИПр можно рассматривать как эквивалентную структурную схему той части прибора, с помощью которой измеряемая величина «доводится» до величины , удобной для индикации. Номинальный коэффициент чувствительности этой части прибора равен , а звено с коэффициентом передачи отражает преобразование величины в показание прибора . Такое преобразование выполняется шкалой прибора или так называемым вторичным прибором (например, вольтметром, шкала которого отградуирована в единицах измеряемой величины).

Аддитивные помехи , действующие на входах всех или части звеньев ИУ (-число звеньев), заменяются двумя и(или) одной эквивалентными аддитивными помехами: помехой , действующей на входе ИУ, и помехой , действующей на его выходе . Эквивалентность этих помех означает, что их влияние на величину равносильно действию всех аддитивных помех .

Инерционность ИУ учитывается в значениях параметров операторной части его передаточной функции , которая считается дробно - рациональной функцией комплексной переменной (5.12), а все факторы, приводящие к нестабильности коэффициента чувствительности ИПр , учитываются в параметрах относительной погрешности этого коэффициента . Считается, что погрешность является случайной величиной (7.2), т.е. может быть записана в виде

, (9.2)

где - систематическая составляющая относительной погрешности коэффициента чувствительности ИУ; - центрированная случайная составляющая этой погрешности с дисперсией .

П р и м е ч а н и е: Запись, подобная (9.2), означает, что число (и/или функция), указанное через запятую после центрированной случайной величины (в данном случае величины ), представляет собой статистическую характеристику этой величины (в данном случае дисперсию ).

Если вместо линейного звена использовать нелинейное звено, функция преобразования которого обратна статической характеристике ИПр, то погрешность от нелинейности этой характеристики автоматически устраняется. То же самое относится к передаточной функции ИПр и собственным динамическим погрешностям прибора.

Используя схему рис. 9.1, расчет погрешности создаваемого ИУ можно свести к определению характеристик измерительного сигнала (7.1), параметров относительной передаточной функции ИУ (5.7), а также параметров и относительной погрешности коэффициента чувствительности ИУ (9.2) и эквивалентных аддитивных помех , зависящих от условий измерений. Благодаря этому достигается универсальность методики расчета погрешности измерений на стадии проектирования ИУ.

Детальное описание и примеры использования этой методики даны в работах [12, 28, 29, 30]. Приведем основные расчетные соотношения. Согласно рис. 9.1, показание ИУ равно

. (9.3)

Используя это выражение, абсолютную погрешность ИУ (9.1) можно представить в одной из трех форм

, (9.4)

, (9.5)

, (9.6)

Слагаемое в формуле (9.4) выражает аддитивную погрешность ИУ, не зависящую от измеряемой величины , слагаемое - мультипликативную погрешность, пропорциональную . Слагаемое в формуле (9.5) выражает статическую погрешность ИУ, не зависящую от времени, слагаемое - динамическую погрешность, зависящую от времени. Слагаемое в формуле (9.6) выражает систематическую погрешность ИУ, слагаемое - центрированную случайную погрешность с дисперсией . Систематическая погрешность остается постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях одной и той же физической величины. Случайная погрешность изменяется при повторных измерениях случайным образом.

Уравнения (9.4), (9.5) и (9.6) являются разновидностями уравнения погрешности ИУ. Конкретизируем эти уравнения для разных режимов измерений.

В статическом режиме измерений измерительный сигнал и эквивалентные аддитивные помехи не зависят от времени. Поэтому для их описания можно использовать модель случайной величины (7.2), т.е. записать их в виде (см. (9.2))

, , , (9.7)

где - математические ожидания величин ; - дисперсии величин .

Подставляя (9.7) и (9.2) в (9.5) и разделяя в полученных уравнениях систематические и случайные составляющие, можно статическую погрешность измерений записать в виде

, (9.8)

где - систематическая составляющая статической погрешности ИУ, вычисляемая по формуле

; (9.9)

- центрированная случайная составляющая статической погрешности с дисперсией . Эта погрешность складывается из семи центрированных случайных величин

. (9.10)

Если все они статистически не зависят друг от друга, то, согласно (7.77),

. (9.11)

П р и м е ч а н и е: При наличии статистических связей между погрешностью коэффициента чувствительности, измерительным сигналом и помехами, действующими на прибор, необходимо, используя формулы табл. 7.2, учитывать корреляционные моменты этих величин.

В динамическом режиме измерений проявляется инерционность ИУ. В этом случае в формуле (9.3) следует считать и вместо (9.7) использовать выражения

,

,

, (9.12)

где - детерминированные функции времени, описывающие систематические составляющие сигналов и ;

- центрированные случайные функции времени, энергетические спектры которых равны соответственно .

В соответствии с принципом суперпозиции реакция ИУ на сигналы (9.12) равна сумме реакций на соответствующие детерминированные и случайные составляющие этих сигналов. Разделяя их, можно абсолютную динамическую погрешность измерений записать в виде

, (9.13)

где - математическое ожидание динамической погрешности; - центрированная случайная составляющая динамической погрешности с дисперсией .

Математическое ожидание динамической погрешности вычисляется по формуле

, (9.14)

где функции времени и описывают реакцию ИУ на систематические составляющие измерительного сигнала и помехи . Согласно (5.36) их можно вычислить по формулам

, (9.15)

, (9.16)

где - относительная весовая функция ИУ.

Функция складывается из пяти центрированных случайных функций времени

(9.17)

где , , .

Если все они статистически независимые, то в установившемся режиме измерений дисперсия динамической погрешности измерений равна (см. (7.77))

, (9.18)

где - интегралы, вычисляемые по формулам (см. (8.45), (8.49)))

, (9.19)

, (9.20)

, (9.21)

. (9.22)

В этих формулах используются следующие обозначения: - относительная комплексная частотная передаточная функция ИУ (см. (5.49)); - относительная амплитудная частотная функция ИУ; - мнимая единица.

Таким образом, расчет статической погрешности ИУ сводится к вычислению восьми величин , а расчет динамической погрешности ИУ - к определению двух функций времени (9.15), (9.16) и вычислению четырех интегралов (9.19) - (9.22).

Расчет систематической погрешности выполняется по формулам (9.9) и (9.14), а расчет дисперсии случайной погрешности – по формулам (9.11) и (9.18).

Аддитивная и мультипликативная погрешности вычисляются по формулам

, . (9.23)

Используя найденные соотношения, можно получить формулы для расчета различных составляющих суммарной погрешности измерений (см. табл. 9.3) и провести их анализ.

9.2. Оценка погрешности измерений на стадии проектирования ИУ

Расчет суммарной погрешности измерений выполняется в следующем порядке :

1. Разрабатывается модель измерительного сигнала;

2. Разрабатывается структурно-математической модель ИУ для возмущенного режима измерений;

3. Вычисляются относительная погрешность общего коэффициента чувствительности ИУ и погрешность от нелинейности его статической характеристики;

4. Все аддитивные помехи приводятся ко входу и/или к выходу ИУ;

5. Вычисляются характеристики суммарной погрешности измерений: систематическая составляющая и дисперсия случайной составляющей ;

6. Вычисляется максимальная приведенная погрешность ИУ и проводится анализ ее структуры.

Поясним содержание этих этапов расчета.

9.2.1. Разработка модели измерительного сигнала

Модель измерительного сигнала строится на основе априорной (т.е. заранее накопленной) информации об объекте измерений, которая должна быть достоверной. Покажем два примера разработки такой модели.

Пример 9.1. Пусть задачей проектирования является разработка прибора для измерения высоты полета . Разрабатываемый прибор должен использоваться на самолете, совершающем рейсовые полеты из пункта A в пункт B (рис. 9.2).

Рис. 9.2.

Обычно существует программа полета, определяющая предписанное движение самолета. Отсюда в модели измерительного сигнала

возникает детерминированная составляющая , описывающая желаемый (предписанный) закон изменения высоты полета во времени.

Вследствие воздействия различных факторов (воздушных течений, метеообстановки, состояния пилота и пр.) фактическая высота полета отличается от предписанной высоты, т.е. в реальном измерительном сигнале присутствует случайная составляющая , которую и нужно измерять с целью управления движением самолета. Характеристиками этой составляющей сигнала являются дисперсия случайной величины и энергетический спектр случайной функции времени .

Эти характеристики могут отражать опыт эксплуатации самолета на конкретном маршруте, а если они неизвестны, то их можно задавать и, варьируя, строить предполагаемую модель траектории движения самолета. Чем ближе характеристики такой модели к характеристикам фактического движения самолета, тем точнее будет оценка погрешности результатов измерений, полученная на стадии проектирования прибора.

Для самолетов разных типов (спортивных, грузовых и пр.) эти характеристики различные. Поэтому к приборному оборудованию разных типов самолетов могут предъявляться разные требования.

Пример 9.2. В качестве другого примера построим модель измерительного сигнала для случая, когда задачей проектирования является разработка весов, которые предполагается использовать в поликлинике. Вес клиента - случайная величина, не изменяющаяся за время измерения. Поэтому модель соответствующего измерительного сигнала можно записать в виде модели случайной величины (7.2) (см. (9.2)), т.е. в виде

, (9.24)

где - средний вес клиента; - центрированная случайная величина с дисперсией .

Характеристики и измерительного сигнала (9.24) можно определить на основе анализа заранее накопленных (априорных) статистических данных. Полной статистической характеристикой случайной величины является плотность распределения вероятностей (ПРВ) этой величины (см. (7.65)). Зная ПРВ, можно значения величин и , входящих в (9.24), вычислить по формулам (7.66) и (7.67). Если ПРВ неизвестна, то ее можно задавать, строя предполагаемую модель измерительного сигнала (веса клиента).

График этой функции для взрослой поликлиники примерно такой, как показано на рис. 9.3 (см. кривую 1). Для детской поликлиники он другой (см. кривую 2). При отсутствии априорных данных можно, исходя из принципа максимальной неопределенности, распределение измеряемой величины считать равномерным (кривая 3).

Рис. 9.3.

Заметим, что во всех случаях в модели измерительного сигнала (9.24) отсутствуют переменные составляющие и , которые могут быть вызваны дополнительными инерционными нагрузками, возникающими из-за возможных вибраций основания весов, непредвиденных движений клиента по грузоприемной платформе и пр. Эти нагрузки должны учитываться в аддитивной помехе, приведенной ко входу или выходу прибора и если они приводят к заметной динамической погрешности результатов измерений, то фильтрация этой помехи - одна из задач, которые нужно решать при проектировании весов.

В любом случае в модели измерительного сигнала (7.1) нужно учитывать только то, что нужно измерять. Остальные воздействия нужно учитывать в параметрах , относительной погрешности коэффициента чувствительности разрабатываемого ИУ и в параметрах эквивалентных аддитивных помех и , действующих на его входе и выходе.

Модель измерительного сигнала и требования, предъявляемые к динамическим характеристикам ИУ, должны быть согласованы друг с другом. Существуют два способа такого согласования. Первый – сформулировать требования к динамическим характеристикам прибора так, чтобы они учитывали динамику (модель) измеряемой физической величины. Например, ограничивая снизу ширину полосы пропускания частот ИУ , нужно исходить из требования (7.56). Второй – на основе априорных данных задать модель измерительного сигнала (7.1) и затем в процессе проектирования выбирать структуру и параметры ИУ так, чтобы обеспечить допустимое значение погрешности измерений.