4. Интерференция поляризованных лучей.

Рассмотрим более подробно случай, когда кристаллическая пластинка, вырезанная параллельно ее оптической оси, расположена между двумя поляризаторами и облучается светом с длиной волны .Схема такой экспериментальной установки приведена на рис. 4.1.

Рис. 4.1

Плоскости пропускания поляризатора П и анализатора А расположены между собой произвольно. Оптическая ось кристаллической пластинки К параллельна оси Y. Луч света длиной волны λ от источника излучении S распространяется вдоль оси Х.

I) Пусть плоскость пропускания поляризатора совпадает с направлением оптической оси кристаллической пластинки. Тогда в пластинке распространяется лишь один е-луч (в соответствии с выражением (3.1)), амплитуда которого равна амплитуде падающей на пластинку волны: Е_е=Е т.е. из кристалла выходит плоско поляризованная волна, ориентации вектора Е которой совпадает с направлением оптической оси кристалла К.

Вращая анализатор А вокруг луча, как вокруг оси, снимем зависимость интенсивности света, выходящего из анализатора, от угла поворота, т.е. I_вых=f(φ). Эта зависимость приведена на рис. 4.2 (кривая "а").

Рис. 4.2.

2) Если плоскость пропускания поляризатора П перпендикулярна направлению оптической оси кристаллической пластинки К то в пластинке будет распространяться только о-луч (см. выражение (3.1)),

амплитуда которого равна амплитуде волны, выходящей из поляризатора П:

Е_о=Е

Из кристалла К выходит опять плоско поляризованная волна, вектор Е которой будет перпендикулярен оптической оси кристалла К. Вращая анализатор А и снимая зависимость I_вых=f(φ), получим кривую, приведенную на рис. 4.2 (кривая "б").

Таким образом, если плоскость пропускания поляризатора, стоящего перед кристаллической пластиной, параллельна или перпендикулярна оптической оси этой пластинки, то кристалл не изменяет поляризации падающего на него излучения.

3) пусть теперь плоскость пропускания поляризатора П составляет угол α с оптической осью пластинки К. Тогда в кристалле образуются о- и е-лучи, амплитуды которых определяются выражением (3.1), т.е.

E_e=Ecosα

E_o=Esinα

Возводя в квадрат и почленно складывая эти выражения, получим

Это выражение иллюстрирует закон сохранения энергии при явлении двойного лучепреломления: энергия луча, падающего на кристалл, перераспределяется между энергией о- и е-лучей.

На выходе из кристалла К о- и е-лучи приобретают разность фаз Δφ_ео, зависящую от толщины пластинки (см. выражение (3.2)). То есть из кристалла в общем случае выходит эллиптически поляризованная волна. Вращал анализатор, снимем зависимость I_вых=f(φ), вид которой приведен на рис. 2.5. Если пластинка для излучения с длиной волны λ является четвертьволновой, то эллипс, который описывает конец вектора Е излучения, выходящего из пластинки К, будет ориентирован вдоль главных осей этой пластинки. Если при этом угол между плоскостью пропускания поляризатора П и оптической осью пластинки равен 45°, т.е. α=45°, то амплитуды о- и е-лучей в пластинке будут равны (3.1), и из кристалле выйдет свет, поляризованный по кругу. Снимая зависимость I_вых=f(φ) при вращении анализатора А, получим кривую, приведенную на рис. 2.5.

Пусть плоскости пропускании П и А и оптическая ось пластинки К расположены произвольно (рис. 4.3).

Рис. 4.3

На рис.4.3 приняты следующие обозначения:

К - направление оптической оси кристалла К;

К' – направление, перпендикулярное оптической оси кристалла;

П, А - направления плоскостей пропускания поляризатора П и анализатора А, соответственно;

α - угол между плоскостью пропускания поляризатора и оптической осью кристалла;

β - угол между плоскостями пропускания поляризатора П и анализатора А.

Из поляризатора П выходит волна, вектор Е которой колеблется параллельно его плоскости пропускания. В результате явления двойного лучепреломления в кристалле образуются о- и е-лучи. На выходе из кристалла эти лучи приобретают разность фаз Δφ_ео (3.2). В соответствии с выражением (3.1) амплитуды этих лучей

E_e=Ecosα

E_o=Esinα

Для определения интенсивности света, выходящего из анализатора, будем пользоваться следующими рассуждениями. Из кристалла выходит эллиптически поляризованная волна, которую можно представить как суперпозицию двух плоскополяризованных во взаимноперпендикулярных плоскостях волн, какими являются о- и е-лучи, колеблющиеся с разностью фаз Δφ_ео. Поэтому прохождение этой эллиптически поляризованной волны через анализатор можно также рассмотривать как суперпозицию двух плоскополяризованных волн, вышедших из анализатора. В соответствии с законом Малюса через анализатор пройдут только те компоненты о- и е-лучей, вектора Е которых параллельны плоскости пропускания анализатора. Для определения амплитуд этих компонент спроектируем E_e и E_o на направление плоскости пропускания анализатора. Из чертежа

рис. 4.3 видно, что через анализатор пройдет E_e' компонента е-луча и E_о' компонента о-луча, которые равны:

E_e'=E_ecos(α+β)

E_о'=E_osin(α+β) (4.1)

Таким образом, амплитуда света, вышедшего из анализатора, определяется как результат суперпозиции

E_вых=E_e'+E_о'

и интенсивность света будет зависеть от разности фаз складываемых волн:

Подставив в это выражение формулы (4.1), получим:

Воспользовавшись формулой

получим:

Воспользовавшись тригонометрическими формулами для косинуса разности двух углов

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

и кратных углов

sin2α=sinαcosα

окончательно получим

(4.2)

Так как интенсивность излучения пропорциональна квадрату амплитуды, то выражение (4.2) в терминах интенсивности будет иметь вид:

(4.3)

Рассмотрим два случая:

1) кристалл К стоит между скрещенными поляризатором П и анализатором А. Это значит, что плоскости пропускания поляризатора и анализатора перпендикулярны друг другу, т.е. β=90°. Подставляя β=90° в выражение (4.3), получим:

I_вых=I₀sin²2αsin²(Δφ_eo/2) (4.4)

Анализ этого выражения показывает, что интенсивность света на выходе анализатора будет равна нулю, если sin²2α=0 или sin²(Δφ_eo/2)=0.

Предположим, что угол между плоскостью пропускания поляризатора П и оптической осью кристалла α=45°, тогда выражение (4.4) упрощается:

I_вых=I₀sin²(Δφ_eo/2) (4.5)

В этом случае интенсивность света, выходящего из анализатора А, будет зависеть только от разности фаз о- и е-лучей на выходе из кристалла.

Если sin²(Δφ_eo/2)=0, то I_вых=0. Это будет тогда, когда (Δφ_eo/2)=mπ, m - любое целое число,

т.е. Δφ_eo=2πm I_вых=0 (4.6)

Интенсивность света на выходе анализатора А будет принимать максимальное значение, т.е. I_вых=I₀, если sin²(Δφ_eo/2)=1. Это будет тогда, когда

(Δφ_eo/2)= ±π/2+πm

или

Δφ_eo=(2m+1)π (4.7)

Разность фаз Δφ_eo зависит от длины волны света (см. выражение (3.2)). Поэтому, если в спектре излучения источника для каких-то λ будет выполняться условие (4.6), то свет этой λ через анализатор не пройдет. Если кристалл в различных своих точках дает различную Δφ_eo (например, стекло, находящееся под механическим напряжением, приобретает двоякопреломляющие свойства в зависимости от величин напряжения, или кристалл, неодинаковый по толщине), то условия (4.6) и (4.7) могут выполняться для нескольких длин волн в спектре источника, и через анализатор будем наблюдать раскрашенную картинку;

2) кристалл К стоит между параллельными поляризатором П и анализатором А. Это значит, что плоскости пропускания поляризатора и анализатора параллельны т.е. β=0°.

Подставляя это значение угла β в выражение (4.3), получим:

I_вых=I₀[1-sin²2αsin²(Δφ_eo/2)] (4.8)

Пусть для определенности α=45°, то из выражения (4.8):

I_вых=I₀[1-sin²(Δφ_eo/2)] (4.9)

Легко видеть, что условия образование темных и светлых полос за анализатором поменяются местами относительно случая со скрещенными поляризатором и анализатором.

Действительно, I_вых=0, если sin²(Δφ_eo/2)=1, т.е. при

Δφ_eo=(2m+1)π (4.10)

I_вых=I₀, если sin²(Δφ_eo/2)=0, т.е. при

Δφ_eo=2πm (4.11)

Таким образом, если для какой-то длины волны λ в спектре излучения источника при скрещенных поляризаторе и анализаторе выполнялось условие минимума, т.е. (4.6), то при параллельных поляризаторе и анализаторе эта же разность фаз соответствует максимуму излучения, и наоборот. Поэтому картинки, которые будем видеть через анализатор, будут различным образом окрашены при параллельном и перпендикулярном расположении плоскостей пропускания поляризатора и анализатора. Цвета этих картинок называются дополнительными. При вращении поляризатора цвета будут изменяться, переходя один в другой при повороте на 90°.

Вопросы для самопроверки

1. Рассмотрите случай расположения кристалла между поляризатором и анализатором при произвольной ориентации их плоскостей пропускания.

2. Рассмотрите случай расположения кристалла между скрещенными поляризатором и анализатором, между параллельными поляризатором и анализаторам.

3. Рассмотрите подробно случай расположения пластинки λ/4 между двумя поляризаторами.

4. Какие цвета излучения называются дополнительными?

5. Как нужно ориентировать пластинку λ/4, чтобы она не изменяла поляризацию падающего на нее излучения.