основы оптики 1-ый семестр / 3_Эл-маг волны

Основы оптики. Электромагнитные волны

1. Электромагнитная природа света.

Существование электромагнитных волн было теоретически предсказано Максвеллом (1862—1864) как прямое следствие из уравнений электромагнитного поля. Скорость электромагнитных волн в вакууме оказалась равной величине (в совре­менных обозначениях), называемой в то время электродинамической постоянной. Ее числовое значение (3,110⁸ м/с) было получено несколько раньше (1856) из электромагнитных измерений В. Е. Вебера (1804—1891) и Р. Г. Кольрауша (1809—1858). Оно почти совпадало со скоростью света в вакууме, равной, по измерениям И. Л. Физо (1819—1896) в 1849 г., с= 3,15.10⁸ м/с. Другое важное совпадение в свойствах электромагнитных волн и света обусловлено поперечностью волн. Поперечность электромагнитных волн следует из уравнений Максвелла, а поперечность световых волн - из экспериментов по поляризации света (Юнг, 1817). Эти два факта привели Максвелла к заключению, что свет представляет собой электромагнитные волны.

Существование электромагнитных волн экспериментально было доказано в 1888 г. Г. Р. Гер­цем (1857—1894). Длина волн, генерированных и детектированных, составляла примерно 66 см. С помощью металлического зеркала Герц наблюдал отражение и преломление волн, изучил их поляризацию, получил стоячие волны, доказав тем самым их способность к интерференции.

По последним данным, скорость света в вакууме составляет

c = 299 792 458  1,2 м/с.

2. Уравнения Максвелла.

Система уравнений для электромагнитного поля была выведена Максвеллом в середине XIX в. путем обобщения данных, полученных в опытах с электрическими зарядами, токами и магнитами. Дальнейшие исследования показали, что уравнения Максвелла имеют очень глубокое физическое содержание, далеко выходящее за рамки тех фактов и представлений, на основе которых были получены уравнения. Оказалось, что эти уравнения удовлетворяют условию релятивистской инвариантности, хорошо описывают быстропеременное электромагнитное поле, включая световые волны, могут быть положены в основу теории излучения электромагнитных волн движущимися зарядами и теории взаимодействия света и вещества.

В удобной для оптики гауссовой системе единиц уравнения Максвелла для электромагнитного поля в вакууме имеют вид

(3.1)

(3.2)

(3.3)

(3.4)

Здесь и — напряженности электрического и магнитного полей, с – электродинамическая постоянная, равная скорости света в вакууме. Уравнения (3.1) представляет собой математическую формулировку закона электромагнитной индукции. Уравнение (3.2) показывает, что магнитное поле поро­ждается переменным электрическим полем. Уравнение (3.3) выражает факт отсутствия статического электрического поля в вакууме. Уравнение (3.4) постулирует отсутствие магнитных зарядов.

Волновое уравнение. Уравнения (3.1)-(3.4) позволяют вывести замкнутые уравнения для полей и . Дифференцируя уравнение (3.2) по времени и меняя порядок следования временной и пространственных производных, имеем

Воспользовавшись уравнением (1.2), получим

Применяя известное из векторного анализа соотношение для дифференциальных операторов, преобразуем левую часть последнего уравнения к виду

Здесь  — оператор Лапласа, который в декартовых координатах записыва­ется в виде

(3.5)

Поскольку в рассматриваемом случае свободные заряды отсутствуют, т. е. , для вектора напряженности электрического поля получаем уравнение

(3.6)

Нетрудно убедиться, что вектор удовлетворяет аналогичному уравнению

(3.7)

Уравнения (3.6), (3.7) линейны по полю. Поэтому они эквивалентны сово­купности скалярных уравнений вида (3.6), (3.7), в каждое из которых входит только одна компонента напряженности электрического или магнитного поля. Действительно, запишем векторы и через декартовы компоненты

, (3.8)

где — единичные векторы (“орты”), направленные вдоль осей х, у, z декартовой системы координат. Тогда каждая из компонент полей _ и _, (=x, y, z) удовлетворяет скалярному уравнению

, (3.9)

Это нетрудно проверить, умножая скалярно уравнения (3.6), (3.7) последовательно на . Уравнения (3.6), (3.7), (3.9) называются волновыми уравнениями. Их решения имеют характер распространяющихся волн.

3. Поперечность световой волны.

Формула (3.9) описывает поведение произвольной компоненты вектора или в плоской световой волне. Информация, которую можно получить о плоской световой волне из уравне­ний Максвелла, этим, однако, не исчерпывается. Пользуясь уравнениями (3.1) - (3.4), можно определить соотношения между направлениями и величинами век­торов и .

Рассмотрим плоскую световую волну, распространяющуюся вдоль оси z. В такой волне, . Покажем, что данная волна является поперечной, т. е. компоненты полей в направлении распространения волны от­сутствуют: . Действительно, из уравнения (3.3) следует, что

Поскольку в рассматриваемой волне , то и , т. е. компонента E_z не меняется в пространстве. Выписав уравнение для z-й компоненты ротора вектора , получим

Так как , то и . Отсюда следует, что Е_z есть константа, не зависящая ни от z, ни от t. Поскольку нас интересуют быстропеременные поля, ее следует принять равной нулю. Аналогичный вывод можно сделать относительно продольной компоненты магнитного поля H_z. Таким образом, в плоской электромагнитной волне, распространяющейся в сво­бодном пространстве вдоль оси z, отличны от нуля компоненты Е_x, Е_y, и Н_x, Н_y, а Е_z = Н_z = 0.

Уравнения Максвелла позволяют найти связь между величинами векторов и в световой волне. Из уравнений (3.1), (3.2) имеем

, (3.10)

Подобным образом устанавливаем взаимосвязь компонент Е_y и Н_x:

. (3.11)

У равнение (3.10) и (3.11) описывают две независимые световые плоские волны. Обе волны распространяются вдоль оси z, одна из них характеризуется взаимно ортогональными компонентами поля E_x, H_y, а другая – E_y, H_x.

4. Синусоидальная электромагнитная волна.

Электромагнитная волна, как мы выяснили, представляет поперечную волну, т.е. ее компоненты и перпендикулярны к направлению распространения. Также, эти компоненты ортогональны (перпендикулярны) по отношению к друг другу. Вектора , и волновой вектор образуют праву тройку векторов. Запись такой волны аналогична записи обычной синусоидальной волны.

5. Энергия электромагнитной волны

Запишем выражение для мощности, рассеиваемой в объеме V, которая равна работе сил электрического поля в единицу времени:

Напомним, что

отсюда

,

Преобразуем произведение , используя известную фор­мулу векторного анализа и учитывая, что :

Тогда

Это выражение проинтегрируем по произвольному объему и применим теорему векторного анализа о потоке вектора через поверхность а, охватывающую исследуемый объем (теорема Гаусса):

(3.11)

Первый член в правой части этого равенства характеризует скорость измёнения энергии электромагнитного поля в исследуемом объеме. По смыслу вывода и форме записи можно сделать заключение и о втором члене равенства: он определяет поток энергии сквозь поверхность, охватывающую данный объем. Тогда смысл равенства (1.25) предельно прост — оно вы­ражает закон сохранения энергии, который в данном случае можно сформулировать следующим образом: изменение энергии электро­магнитного поля в каком-то объеме равно сумме работ сил этого поля и потока электромагнитной энергии сквозь поверхность, охватывающую данный объем.

Теперь можно поставить вопрос о том или ином ограничении объема V. Если поверхность s охватывает полностью тот объем, где имеется электромагнитное поле, то поток энергии сквозь нее равен нулю. В этом случае мы приходим к знакомому выра­жению закона сохранения: изменение электромагнитной энергии равно работе сил электрического поля. Впрочем, такое утверждение нетривиально: если , то получается выражение для работы сторонних сил и джоулевой теплоты и мы убедимся в том, что ток смещения (переменное электрическое поле) обусловливает возникновение переменного магнитного поля, но не приводит к выделению теплоты.

Однако эти вопросы в данный момент интересуют нас в меньшей степени, чем сформулированная выше проблема о распространении энергии электромагнитной волны. Поэтому ограничим размеры поля так, чтобы в исследуемой области левая часть равенства (3.11) обращалась в нуль. Это выполняется, в частности, в случае однородной непроводящей среды (). Тогда

, (3.12)

Выражение (3.12) означает, что поток энергии сквозь замкнутую поверхность s, охватывающую произвольный объем диэлектрика V, равен изменению электромагнитной энергии внутри этого объема. Аналогичное соотношение, справедливое для любого вида энергии, было получено Умовым. Специально для потока электромагнитной энергии этот закон был впервые доказан Пойнтингом.

При экспериментальных исследованиях обычно проверяется его интегральная форма, выраженная равенством (3.12). Однако, имеет смысл перейти к дифференциальной форме и получить право говорить о векторе плотности потока энергии . Он указывает направление распространения энергии в каждой точке пространства в данный момент времени. Он ортогонален векторам и , и в изотропной среде совпадает с направлением распространения волны, т. е. с направлением луча. Следовательно, векторы , и образуют “правый винт”.

В свободной волне векторы и изменяются синфазно в прос­транстве и во времени. Вектор изменяется от S_мин = 0 до S_макс = .

Таким образом, поток энергии колеблется с удвоенной частотой (по сравнению с и ) вокруг среднего значения , принимая положительные значения (включая S = 0).

Мы пришли к выводу, что плотность потока энергии пропор­циональна квадрату амплитуды электрического поля. Это общее и очень важное соотношение, на котором фактически основывается возможность регистрации распространяющихся электромагнтных волн различными приемниками. Практически все приемники света в той или иной степени инерционны. Поэтому они регистрируют среднее значение квадрата амплитуды.

5