основы оптики 1-ый семестр / 2_Волны

1. Волновое уравнение.

Волновое уравнение плоской волны распространяющийся вдоль оси z имеет следующий вид

(2.1)

В математической физике дока­зывается, что оно не имеет других решений, кроме функций вида (tz/u) и их суперпозиции. Параметр u в данном решении есть скорость распространения волны вдоль оси z.

Уравнение (2.1) показывает условие существования волны – пропорциональность второй производной по времени и второй производной по координате.

В векторной форме волновое уравнение может быть записано в виде

(2.2)

Как известно, значок ² соответствует дополнитель­ному дифференцированию по координатам векторного оператора «набла»: . При записи волнового уравнения одномерной задачи, когда исследуемая функция зависит от одной координаты и времени, например Е = Е(z, t), опера­тор ² эквивалентен хорошо известному символу и уравнение (2.2) переходит в формулу (2.1).

2. Плоская гармоническая волна.

Конкретизируем закон изменения светового поля во времени и в пространстве. Рассмотрим декартову компоненту поля E x(z, t). Пусть при z = 0

т. е. напряженность светового поля изменяется по гармоническому закону. То­гда в области z0 будет распространяться плоская гармоническая волна

(2.3)

В этом выражении А — амплитуда волны,  — круговая частота, связанная с периодом Т и частотой колебаний  = 1/Т соотношениями

(2.4)

Параметры k и , определяемые как

(2.5)

(2.6)

есть соответственно волновое число и длина волны. Величина

(2.7)

называется полной фазой волны и зависит от t и z. Фазу (z)=kz, связанную с изменением пути z, пройденного волной, будем называть набегом фазы или фазовым сдвигом. Геометрическое место одинаковых значений фаз называют волновым фронтом. В плоской гармонической волне это плоскость, перпендикулярная направлению распространения.

Чтобы освободиться от использования системы координат, запишем (2.3) с помощью векторных обозначений. Пусть вектор равен по модулю волновому числу и направлен параллельно оси z в сторону положительных значений. Такой вектор называется волновым. Принимая во внимание, что =kz, запишем для произвольной точки, характеризуемой радусом-вектором , вместо (2.3) выражение

(2.4)

Эта формула не зависит от системы координат и характери­зует плоскую волну, распространяющуюся в направлении вектора .

Кроме, плоской гармонической волны очень распространен случай, когда волновой фронт приобретает сферическую форму. Тогда волна называется сферической гармонической волной. И ее уравнение имеет вид

(2.5)

где r – это радиус в полярной системе координат, т.к. описать сферическую волну в полярной системе координат проще, чем в декартовой. Уменьшение амплитуды A с увеличением радиуса r происходит из-за расширения волны, т.е. из-за ее расхождения в пространстве.

3. Векторные волны.

Вектора - это направленные отрезки. Поэтому приходится учитывать еще и ориентацию вектора в пространстве. Основное отличие записи векторных волн от записи скалярных – это запись в комплексном виде. Представление плоской волны в комплексной форме. Принимая во внимание формулу Эйлера

(2.6)

Первое слагаемое в правой части (2.6) соответствует действительной амплитуде Re(e^-ia) волны, а правое – мнимой амплитуде Im(e^-ia).

В расчетах удобно пользо­ваться комплексным представлением плоской волны в виде

(2.7)

Величина A в (2.7) может быть как действительной, так и комплексной величиной. Учитывая, что в общем случае

запишем выражение (2.39) в виде

(2.8)

где A — амплитуда плоской волны. Поэтому и в (2.7) ½A½ — амплитуда плоской волны, а wt-kr-j – фаза, где . В комплексном виде можно записывать не только плоские волны, но и всевозможные другие.

4. Стоячая волна.

Стоячие волны. Рассмотрим суперпозицию двух монохроматических волн одинаковой частотой, распространяющихся навстречу друг другу. Будем считать, что векторы напряженнос­ти электрического поля в этих волнах коллинеарны и колеблются с одинаковой амплитудой.

Ось z располагаем по направлению распространения волны, а ось x — коллинеарна направлению векторов Е волн. Имеем

(2.9)

(2.10)

где положительный знак при kz в (2.10) учитывает, что волна Е₂ распространяется в направлении отрицательных значений оси х; d - сдвиг фаз.

В результате суперпозиции этих двух бегущих волн образуется волна, напряженность поля которой равна

(2.11)

Видно, что эта волна не является бегущей, поскольку отсутствует характерный для нее множитель . Сомножитель с точностью до знака можно рассматривать как амплитуду колебаний напряженности поля в точке. Она изменяется от точки к точке по гармоническому закону. Напряженность во всех точках изменяется с одинаковой частотой в одной и той же фазе (сомножитель ). Такая волна называется стоячей.

Мгновенный снимок стоячей волны совпадает со снимком бегущей волны. Однако между бегущий и стоячей волнами имеется глубокое различие. Колебания напряженности во всех точках стоячей волны в некоторый момент времени находятся в одной и той же фазе, а колебания электрическою поля в различных точках бегущей волны не совпадают

В частности, у стоячей волны имеется такой момент времени, когда напряженность E во всех точках оси z равна нулю (при =0).

5. Дисперсия вещества.

Дисперсия вещества - зависимость показателя преломления от длины волны (частоты), определяет целый ряд свойств волн, распро­страняющейся в среде. Одним из свойств является скорость распространения волны. Для монохроматической волны скорость ее перёмещения можно связать с пёремещением фазы. Эту скорость называют фазовой. При распространении в среде немонохроматической волны, т. е. импульса, понятие фазовой скорости не применимо.

Для среды, не обладающей дисперсией, введение понятия скорости не вызывает принципиальных затруднений. Скорость распространения импульса отождествляется со скоростью перемещения какой-либо его характерной точки, например максимальной напряженности поля. При этом предполагается, что импульс сохраняет свою форму в процессе перемещения.

В диспергирующей среде различные монохроматические синусоидальные составляющие, образующие импульс, распространяются с различными фазовыми скоростями, и импульс деформируется. Если дисперсия невелика, то через некоторое характерное время импульс восстанавливает свою первоначальную форму. Процесс восстановления формы при этом является периодическим.

В связи с этим и появляется возможность введения понятия скорости распространения импульса, связав эту скорость со временем восстановления формы импульса и с длиной пути, проходимым импульсом за это время. Очевидно, что рассчитанная таким образом скорость не совпадает с фазовой. Ее называют групповой, т. е. скоростью распространения группы волн (импульса). Выделим на импульсе ка­кую-либо точку с определенным значением, например максимум. Определим скорость перемещения этой точки, которая и характеризует скорость распространения импульса (групповую скорость). Отметим, что эта скорость есть скорость перемещения максимальной амплитуды, а следовательно, и энергии, переносимой движущимся импульсом.

Для нахождения групповой скорости U запишем условие постоян­ства амплитуды, т. е.

Дифференцируя, находим

или

Найдем связь между U и V_ф:

или, так как k=2/, k=-2/, имеем и окончательно, переходя к дифференциалам,

(2.12)

Формула (2.12) называется формулой Рэлея.

При нормальной дисперсии скорость V_ф монохроматической волны растет с увеличением длины волны, поэтому волна с длиной волны + обгоняет волну с длиной волны  (рис. 2.1 I и II). Если в какой-либо мо­мент времени максимумы Р₁ и Р₂ совпадают, то через некоторое время τ максимум Р₂ обгонит Р₁, но при этом совпадут максимумы Q₁ и Q₂. Эго означает, что центр импульса за это время сместился на одну длину волны  и совпал с точкой Q₁. По­этому скорость сложного им­пульса меньше фазовой ско­рости первой волны на вели­чину /τ.

Отметим, что энергия распространяется со скоростью, которую можно на­звать скоростью сигнала. Поэтому эту скорость ино­гда называют сигнальной.