Основы оптики. Явления на границе раздела двух сред

При рассмотрении явления отражения электромагнитной волны от границ раздела сред могут иметь место три случая:

1) волна распространяется из среды менее плотной в среду более плотную и слабо поглощающую, т. е. n₁ < n₂ и коэффициент поглощения k₂  0;

2) волна распространяется из среды более плотной в среду менее плотную n₁ > n₂ и коэффициент поглощения k₂  0;

3) имеет место падение излучения на границу раздела двух сред, из которых вторая менее плотная n₁ > n₂ и коэффициент поглощения k₂  0.

1. Отражение и пропускание на границе раздела двух сред при распространении из менее плотной среды в более плотную среду. Угол Брюстера.

Рассмотрим явления, соответствующие приведенным соотношениям. Отражение световой волны, происходящее на границе двух различных сред (при соотношении n₁  n₂), неразрывно связано с явление преломления луча во вторую среду. Если показатели преломления обоих сред одинаковы, то отражения не происходит даже в том слу­чае, когда среды различаются по другим свойствам. Законы отраже­ния принимают простой вид для случая оптически гладкой плоской поверхности раздела. При выполнении этого условия каждый луч падающего пучка света отражается так, что угол падения, образуемый лучом с нормалью к поверхности в точке его падения, равен углу от­ражения; причем оба луча (падающий и отраженный) лежат в одной плоскости с нормалью к поверхности. Эта плоскость называется плоскостью падения.

Основным свойством зеркально отраженной волны является ее когерентность с волной падающей и преломленной. При встрече падающей и отраженной волн образуются стоячая и бегущая волны и наблюдается интерференция. Частота световых колебаний при зеркальном отражении не меняется. Таким образом, отражение от диэлектриков дает возможность получить когерентные волны.

Законы отражения света, учитывающие состояние поляризации от­раженной и преломленной волн, выводятся для перечисленных выше случаев из общей теории отражения и преломления электромагнитных волн и представляются в виде формул Френеля.

Пусть имеются два диэлектрика, разделенных плоской поверхностью и характеризуемых показателями преломления n₁ и n₂ (диэлектрические проницаемости ₁ и ₂).

На поверхность раздела под углом α (рис. 5.1) падает линейно поляризованная волна. При падении на поверхность раздела она дает отраженную (угол отражения α) и преломленную (угол преломления β) волны. Все три луча лежат в одной плоскости — плоскости падения.

Для решения задачи об интенсивности и поляризации отраженной и преломленной волн нужно использовать условия на границе раздела для электрического и магнитного полей (векторы и ).

Падающую волну любого вида поляризации можно разложить на две составляющие, что показано на рис 5.3, а, б; вектор лежит в плоско­сти падения, вектор— перпендикулярен ей. Будем называть поляриза­цию в первом случае параллельной, а во втором — перпендикулярной.

Примем определенную систему для обозначения направлений коле­баний векторов и , пусть переход от направления колебания векто­ра к направлению будет происходить по часовой_стрелке при на­блюдении навстречу лучу. Положение векторов, и обозначено на рис.5.1, а, б.

Формулы Френеля для амплитудных коэффициентов отражения и пропускания получены с учетом граничных условий, которые требуют непрерывности тангенциальных составляющих и электромагнит­ной волны на границе раздела двух сред. Тогда для колебаний векторов, параллельных плоскости падения E_II и E_r,II, имеем для амплитудно­го коэффициента отражения

(5.1)

Для колебаний векторов E_┴ и E_r,┴ , перпендикулярных плоскости падения, имеем

(5.2)

Соответственно можно написать формулы для преломленных волн, поляризованных параллельно E_t,II и перпендикулярно E_t,┴

(5.3)

(5.4)

Уравнения (5.1) — (5.4) известны как формулы Френеля. Они дают полное представление об амплитуде и фазе отраженной и пре­ломленной волн при прохождении света из менее плотной в более плотную непоглощающую среду. Графики зависимостей (5.1) — (5.4) при n₁=1,0; n₂ =1,5 даны на рис.5.2, а.

Рассмотрим более подробно формулы (5.1) и (5.2). Они дают возможность построить кривые для амплитуд и фаз отраженных волн в зависимости от углов падения. При отражении света от более плот­ной среды для компонентыE_r,II, имеет место скачок фазы колебаний по отношению к фазе падающей волны на π в определенных интервалах углов падения. Это подтверждается экспериментально.

Ориентация векторов и в отраженной волне (с учетом сказанного выше) представлена на рис. 5.1, а, б. При такой ориентации для вектора при отражении скачок фазы отсутствует, что и должно быть, так как на границе раздела магнитные свойства среды не меняются. На рис. 5.1 векторы в падающей и отраженной волне противоположны по фазе, что соответствует ориентации векторов, изображенной на рисунке.

При принятом выборе знаков в формулах (5.1) и (5.2) поворот плоскости поляризации в отраженной волне меняется монотонно, что иллюстрируется на рис. 5.3. Как видно из рисунка, в результате из­менения амплитудE_r,II и E_r,┴, отраженная волна с начальной ориентаци­ей вектора _r под углом 45° к плоскости падения испытывает поворот плоскости поляризации при изменении угла падения α. При скользя­щем падении (α=90°) плоскость поляризации ориентирована под уг­лом 90° к исходной.

Из формулы (5.1) при α+β=π/2 следует, что коэффициент r_II обращается в нуль. При одновременном присутствии в падающем из­лучении параллельной и перпендикулярной компонент отразится от поверхности раздела только компонента E_r,┴ и свет станет линейно по­ляризованным. При α+β=π/2 sin β = cos α (рис. 5.4) и инвариант преломления для относительного показателя преломления дает

. (5.5)

Угол, соответствующий условию (5.5), называют углом Брюстера для случая n=1,5 и =0,5 мкм α=57°. На рис. 5.2, б изобра­жен график изменения фазы между отраженной и падающей волнами для обеих поляризаций _II и _┴ для всех углов α.

Рассмотрим подробнее зависимость от угла падения разности фаз _II и _┴ между падающим и отраженным лучами. Из формулы (5.2) следует, что для всех углов 0<α<π/2 для перпендикулярной поляри­зации разность фаз _┴ остается постоянной и равной π (см. рис.5.2, б). для параллельной поляризации разность фаз _II также равна π при таких значениях α, для которых, сумма α+β≤π/2. При α+β=π/2 в формуле (5.1) знак тангенса изменится и произойдет скачок фазы на π, т. е. фаза отраженной волны совпадает с фазой падающей. В соот­ветствии с формулой (5.1) амплитудный коэффициент отражения ме­няет знак.

Для реальной границы раздела скачкообразное изменение фазы _II при α = α_Бр не наблюдается. На рис. 5.2, 6 пунктирной линией пока­зан реальный ход зависимости _II. Таким образом, в этом случае при α = α_Бр мёжду параллельной и перпендикулярной компонентами имеется разность фаз, приближенно равная π/2.

Для прёломленной волны из формул (5.3) и (5.4) следует, что при любом значении углов падения α и преломления β зна­ки E_II и E_t,II, знаки E_┴ и E_t,┴ совпадают. Это свидетельствует о том, что преломленная волна во всех случаях имеет фазу падающей волны. Амплитудные же коэффициенты про­пускания t_II и t_┴ (так же, как и в отраженной волне) отличаются и зависят от углов падения (см. рис. 5.2, а).

Покажем, что при падении линейно поляризованного света направ­ление плоскости поляризации в отраженной и преломленной волнах оказывается повернутым относительно соответствующего направления этой плоскости в падающей волне. Этот поворот происходит вследствие различной зависимости амплитудных коэффициентов отражения и пропускания волн разной поляризации от угла падения α. Обозначив азимуты колебаний электрического вектора в падающей, отраженной и преломленной волнах через γ, η, ε, можно записать:

, ,

Отсюда с учетом (5.1) и (5.2), (5.3) и (5.4) имеем:

;

.

Из этих формул следует, что при увеличении угла падения плос­кость колебаний в отраженной волне удаляется, а в преломленной вол­не приближается к плоскости падения. При угле падения, соответст­вующем углу Брюстера, tg η = ∞, т. е. η = π/2, а при углах α>α_Бр имеем tg η < 0 вследствие изменения знака соs(α + β) и соответствующего скачка фазы для r_II.

Если принять γ = 45°, то E_II = E_┴, и соответственно r_II = r_┴ при α = 0. При увеличении угла α, в соответствии с формулами (5.1) и (5.2), r_┴ возрастает, а r_II убывает и азимут и увеличивается. Когда α = α_Бр, r_II = 0 и η становится равным 90°. Затем знак r_II изменяется и η становится больше 90°. При скользящем падении (α = 90°), r_II = -r_┴ = 1 и угол и будет равен 135° или - 45°. Изменение η в зависимости от угла падения α представлено на рис. 5.3. Отметим еще угол падения α = 45°. В этом случае имеем по фор­мулам (5.1) и (5.2):

(5.6)

Следовательно, при α = 45° получим с учетом (5.6) соотношения:

, r_┴² = r_II (5.7)

Соотношения (5.7) позволяют определить амплитудные коэффи­циенты отражения по положению плоскости поляризации, не проводя фотометрических измерений.

Рассмотрим энергетические коэффициенты в отраженной и прелом­ленной волнах. Обозначим через R_┴, R_II, T_┴, T_II соответствующие состав­ляющие коэффициентов отражения и пропускания. Примем во внима­ние, что энергия поля падающей волны распределяется между энергиями полей отраженной и преломленной волн по-разному. Она зависит не только от коэффициентов отражения и пропускания границы раздела и от оптических характеристик сред n₁ и n₂, но и от направления распространения волн (вектора Пойнтинга). Этим объясняется появление мно­жителя в выражениях для составляющихT_┴, T_II.

Тогда имеем:

(5.8)

Легко проверить, что в обоих случаях выполняется закон сохранения энергии, т. е.

R_II + T_II = 1 и R_┴ + T_┴=1

Для неполяризованного света, когда имеет место осевая симметрия расположения вектора , средние значения то _II² = _┴². Тогда энергетический коэффициент отражения будет равен полусумме квадратов амплитуд для параллельной и перпендикулярной компонент отраженной волны, т. е.

(5.9)

На рис. 5.5 представлены кривая коэффициента отраженияR для неполяризованного света и кривые для R_┴ и R_II. Здесь рассмотрен случай отражения от границы воздух — стекло для n₂ = 1,52 (α_Бр = 56°40’).

Из рис. 5.5 следует, что при α = α_Бр в отраженном свете присутствует только одна поляризация. Коэффициент отражения неполяризованного света в этом случае R = R_┴/2. Для α  α_Бр в отраженном свете присутствуют обе поляризации. На рис.5.5 все три кривые для R, R_┴, R_II совпадают при α = 0 и α = 90°.

Наличие полностью поляризованного света при α = α_Бр можно определить экспериментально (рис. 5.6).

На рисунке показан ход лучей при отражении от двух диэлектрических поверхностей S₁ и S₂ при α = α_Бр. При повороте S₂ вокруг оси, совпадающей с лучом, интенсивность света на выходе меняется и при определенном положении становится равной нулю. В этом случае плоскости падения на зеркала S₁ и S₂ взаимно перпендикулярны.

Рассмотрим случай перпендикулярного падения волны на поверхность раздела. Напишем формулы Френеля (5.1) и (5.2) при условии, чтоα = 0 и β = 0. Для амплитудных коэффициентов отражения получаем

, (5.10)

где n = n₂/n₁.

Из формулы (5.10) следует, что различие между параллельной и перпендикулярной поляризациями волн исчезает, и понятие плоскости падения теряет смысл.

Энергетический коэффициент отражения R при α = 0 получим возведением обеих частей равенства (5.10) в квадрат:

. (5.11)

Для прозрачных диэлектриков величина R обычно мала. Например, для видимой области (зеленая длина волны) при n = 1,52 величина R = 0,04, т. е. 4% от падающего на поверхность света идет в отраженную волну. Необходимо отметить, что значение коэффициента отражения при нормальном падении не зависит от направления распространения луча, т. е. от того, из какой среды (первой или второй) свет падает на границу раздела. Таким образом, при прохождении волны через стеклянную пластинку теряется 8% энергии, т. е. коэффициент пропускания такой пластинки T = 92 %.

Если оптическая система состоит из многих поверхностей, то коэффициент пропускания Т может стать малым, для повышения пропускания необходимо осуществлять «просветление» элементов системы.

Из формулы (5.11) следует, что при уменьшении разницы между n₂ и n₁ коэффициент R заметно уменьшается. Например, при прочих равных условиях для границы стекло — вода (n_отн = 1,33) коэффициент R = 0,019.

Из рис. 5.5 следует, что энергетический коэффициент отражения R увеличивается с увеличением угла падения α. Кроме того, изменяется также доля компонент R_┴ и R_II. Свет оказывается частично поляризованным, так как