Федеральное агентство по образованию

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Московский государственный университет

приборостроения и информатики

кафедра высшей математики

Выборнов А.Н.

ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ

векторы,

скалярное, векторное, смешанное произведение

Москва 2009

Векторы

Рассмотрим некоторую плоскость. Закрепленный вектор на этой плоскости – это направленный отрезок, соединяющий две точки этой плоскости и обозначаемый указанием начальной и конечной точек отрезка, например, .

Нулевые вектора имеют совпадающие начальную и конечную точку, например, . Нулевой вектор не имеет определенного направления. Мы будем считать, чтонулевой вектор направлен одновременно во все стороны, то есть одновременно параллелен и перпендикулярен любому вектору.

Длина вектора – это длина отрезка(обозначается). Длина нулевого вектора, очевидно, равна нулю.

На множестве всех закрепленных векторов введем отношение равенства: векторы исчитаются равными, если

1) их длины равны,

2) они параллельны или лежат на одной прямой,

3) они направлены в одну сторону.

Замечание

Можно вместо трех условий для равенства векторов записать одно условие:

только если середина отрезка совпадает с серединой отрезка

(М. М. Постников).

Отношение равенства разбивает множество всех закрепленных векторов плоскости на непересекающиеся подмножества равных между собой векторов. Считается, что все закрепленные вектора, принадлежащие одному из этих подмножеств (то есть равные между собой), представляют один и тот же свободный вектор.

Замечание

С подобной ситуацией мы сталкиваемся при введении понятия рационального числа. Равные между собой (хотя и разные по записи) дроби представляют одно и то же (рациональное) число:

Таким образом, векторная величина (свободный вектор) характеризуется длиной и направлением. Данный свободный вектор мы можем представить закрепленным вектором, начинающимся в любой наперед заданной точке.

Свободные векторы мы будем обозначать строчными латинскими буквами с надстрочной стрелкой, например, .Длину свободного вектора будем обозначать.

Все закрепленные нулевые векторы равны между собой. Нулевой свободный вектор будем обозначать цифрой ноль с надстрочной стрелкой: .

В дальнейшем мы будем говорить просто «вектор», не уточняя, закрепленный он или свободный (это, обычно, бывает видно из контекста).

Коллинеарность векторов.

Рассмотрим два свободных вектора и. Представим их закрепленными векторами:и. Векторыиназываютсяколлинеарными, если закрепленные векторы ибудут параллельны или лежать на одной прямой. Таким образом, если привести коллинеарные векторы в общее начало, они будут лежать на одной прямой.

Одноместный минус (переход к противоположному вектору)

Рассмотрим вектор .Противоположным вектору называется вектор. Очевидно, что, независимо от выбора закрепленного вектора, представляющего свободный вектор, мы будем получать один и тот же свободный вектор.

Линейные операции над векторами

Сложение.

Рассмотрим два вектора и. Подберем векторыи. Тогда, по определению, вектор, то есть нужно начало вектораприставить к концу вектора, и вектор, соединяющий началои конец, будет равен.

Нетрудно доказать корректность нашего определения, то есть, что результат не зависит от выбора начальной точки , от которой мы начинаем свое построение.

Сложение векторов коммутативно, то есть для любых векторов ибудут равны векторыи. Проверяя это свойство, мы заодно получим «правило параллелограмма» сложения векторов применяемое в механике:

Сложение векторов также обладает свойством ассоциативности, то есть для любых векторов ,ивыполнено равенство:, так что скобки можно вообще не ставить:

Вычитание.

Вектор - это такой вектор, для которого.

Нетрудно проверить, что .

Умножение вектора на число.

При умножении вектора на число мы получаем коллинеарный ему вектор . В случаевекторнаправлен в ту же сторону, что и вектор, а в случаевекторнаправлен в противоположную сторону. В обоих случаях длина векторадолжна быть.

Нулевой вектор при умножении на любое число остается нулевым. При умножении любого вектора на число ноль он становится нулевым:

Итак, во всех случаях выполнено равенство .

Мы обозначаем умножение вектора на число точкой, так же как и умножение чисел (но это другая операция). Это удобно, и не вызывает путаницы.

Нетрудно проверить, что .

Линейные операции над векторами обладают следующими, легко проверяемыми свойствами:

Эти свойства выполнены для любых чисел ,идля любых векторов и.