Уравнение окружности

Пусть окружность имеет радиус , а ее центр находится в точке . Точка лежит на окружности тогда и только тогда, когда модуль вектораравен, то есть. Последнее равенство выполнено тогда и только тогда, когда

(1)

Уравнение (1) и является искомым уравнением окружности.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору

Пусть прямая проходит через точку перпендикулярно вектору .

Точка лежит на прямой тогда и только тогда, когда векторы иперпендикулярны. Векторыиперпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, то есть. Используя формулу вычисления скалярного произведения векторов, заданных своими координатами, уравнение искомой прямой записываем в виде

(2)

Рассмотрим пример. Найти уравнение прямой, проходящей через

середину отрезка АВ перпендикулярно этому отрезку если координаты точек соответственно равны А(1;6), В(5;4).

Будем рассуждать следующим образом. Чтобы найти уравнение прямой мы должны знать точку, через которую эта прямая проходит, и вектор перпендикулярный этой прямой. Вектором, перпендикулярным данной прямой, будет вектор , поскольку, по условию задачи, прямая перпендикулярна отрезку АВ. Точку определим из условия, что прямая проходит через середину АВ. Имеем . Таким образоми уравнение примет вид.

Выясним вопрос, проходит ли эта прямая через точку М(7;3).

Имеем , значит, эта прямая не проходит через указанную точку.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку, параллельно данному вектору

Пусть прямая проходит через точку параллельно вектору .

Точка лежит на прямой тогда и только тогда, когда векторы иколинеарны. Векторыиколинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны, то есть

(3)

Полученное уравнение и является уравнением искомой прямой.

Уравнение (3) представим в виде

, где принимает любые значения.

Следовательно, можем записать

, где (4)

Система уравнений (4) называется параметрическими уравнениями прямой.

Рассмотрим пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки . Мы можем построить уравнение прямой, если знаем точку и параллельный или перпендикулярный ей вектор. Точек в наличии целых две. Но если две точки лежат на прямой, то вектор, их соединяющий будет параллелен этой прямой. Поэтому воспользуемся уравнением (3), взяв в качестве вектора вектор. Получаем

(5)

Уравнение (5) называется уравнением прямой, проходящей через две данные точки.

Общее уравнение прямой

Определение. Общим уравнением линии первого порядка на плоскости называется уравнение вида , где.

Теорема. Всякая прямая на плоскости может быть задана в виде уравнения линии первого порядка, и всякое уравнение линии первого порядка является уравнением некоторой прямой на плоскости.

Первая часть этой теоремы доказывается просто. На всякой прямой можно указать некоторую точку перпендикулярный ей вектор . Тогда, согласно (2), уравнение такой прямой имеет вид. Обозначим. Тогда уравнение примет вид .

Теперь перейдем ко второй части теоремы. Пусть имеется уравнение , где. Будем считать для определенности.

Перепишем уравнение в виде:

;

;

.

Рассмотрим на плоскости точку , где. Тогда полученное уравнение имеет вид , и является уравнением прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору . Теорема доказана.

В процессе доказательства теоремы мы попутно доказали

Утверждение. Если имеется уравнение прямой вида , то вектор перпендикулярен данной прямой.

Уравнение вида называется общим уравнением прямой на плоскости.

Далее выведем формулу вычисления расстояния от произвольной точки плоскости до прямой, заданной общим уравнением.

Пусть имеется прямая и точка. Требуется определить расстояние от указанной точки до прямой.

Рассмотрим произвольную точку на прямой. Имеем. Расстояниеот точкидо прямой равно модулю проекции векторана вектор , перпендикулярный данной прямой. Имеем

,

преобразуя, получаем формулу:

.

Пусть даны две прямые, заданные общими уравнениями

, . Тогда векторы перпендикулярны первой и второй прямой соответственно. Уголмежду прямыми равен углу между векторами,.

Тогда формула для определения угла между прямыми имеет вид:

.

Условие перпендикулярности прямых имеет вид:

.

Прямые параллельны или совпадают тогда и только тогда, когда векторы колинеарны. При этомусловие совпадения прямых имеет вид: ,

а условие отсутствия пересечения записывается в виде: . Последние два условия докажите самостоятельно.

Исследуем характер поведения прямой по ее общему уравнению.

Пусть дано общее уравнение прямой . Если, то прямая проходит через начало координат.

Рассмотрим случай, когда ни один из коэффициентов не равен нулю . Уравнение перепишем в виде:

,

,

Где . Выясним смысл параметров . Найдем точки пересечения прямой с осями координат. Приимеем, а приимеем. То есть- это отрезки, которые отсекает прямая на координатных осях.Поэтому уравнение называется уравнением прямой в отрезках.

В случае имеем . То есть прямая будет параллельна оси. В случае имеем . То есть прямая будет параллельна оси.

Напомним, что угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона этой прямой к оси. Пусть прямая отсекает на осиотрезоки имеет угловой коэффициент. Пусть точкалежит на данной

прямой.

Тогда ==. И уравнение прямой запишется в виде

.

Пусть прямая проходит через точку и имеет угловой коэффициент. Пусть точкалежит на этой прямой.

Тогда =.

Полученное уравнение называется уравнением прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом.

Пусть даны две прямые ,. Обозначим- угол между ними. Пусть,углы наклона к оси Х соответствующих прямых

Тогда =,.

Тогда условие параллельности прямых имеет вид , а условие перпендикулярности

В заключение рассмотрим две задачи.

Задача. Вершины треугольника АВС имеют координаты: A(4;2), B(10;10), C(20;14).

Найти: а) уравнение и длину медианы, проведенной из вершины А;

б) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины А;

в) уравнение биссектрисы, проведенной из вершины А;

Определим уравнение медианы АМ.

Точка М() середина отрезка ВС.

Тогда , . Следовательно, точка М имеет координаты M(15;17). Уравнение медианы на языке аналитической геометрии это уравнение прямой, проходящей через точку А(4;2) параллельно вектору ={11;15}. Тогда уравнение медианы имеет вид. Длина медианы АМ=.

Уравнение высоты AS - это уравнение прямой, проходящей через точку А(4;2) перпендикулярно вектору ={10;4}. Тогда уравнение высоты имеет вид 10(x-4)+4(y-2)=0, 5x+2y-24=0.

Длина высоты - это расстояние от точки А(4;2) до прямой ВС. Данная прямая проходит через точку B(10;10) параллельно вектору ={10;4}. Ее уравнение имеет вид, 2x-5y+30=0. Расстояние AS от точки А(4;2) до прямой ВС, следовательно, равно AS=.

Для определения уравнения биссектрисы найдем вектор параллельный этой прямой. Для этого воспользуемся свойством диагонали ромба. Если от точки А отложить единичные векторы одинаково направленные с векторамии, то вектор, равный их сумме, будет параллелен биссектрисе. Тогда имеем=+.

={6;8}, , ={16,12}, .

Тогда =В качестве направляющего вектора искомой прямой может служить вектор={1;1}, коллинеарный данному. Тогда уравнение искомой прямой имеет видилиx-y-2=0.

Задача. Река протекает по прямой линии, проходящей через точки А(4;3) и В(20;11). В точке С(4;8) живет Красная Шапочка, а в точке D(13;20) ее бабушка. Каждое утро Красная Шапочка берет пустое ведро из дома, идет на реку, черпает воду и относит ее бабушке. Найти самую короткую дорогу для Красной Шапочки.

Найдем точку Е, симметричную бабушке, относительно реки.

Для этого сначала найдем уравнение прямой, по которой течет река. Это уравнение можно рассматривать, как уравнение прямой, проходящей через точку А(4;3) параллельно вектору . Тогда уравнение прямой АВ имеет вид.

Далее найдем уравнение прямой DE, проходящей через точку D перпендикулярно АВ. Его можно рассматривать, как уравнение прямой, проходящей через точку D, перпендикулярно вектору . Имеем

.

Теперь найдем точку S - проекцию точки D на прямую АВ, как пересечение прямых АВ и DE. Имеем систему уравнений

.

Следовательно, точка S имеет координаты S(18;10).

Поскольку S середина отрезка DE, то .

Аналогично .

Следовательно, точка Е имеет координаты Е(23;0).

Найдем уравнение прямой СЕ, зная координаты двух точек этой прямой

.

Точку М найдем как пересечение прямых АВ и СЕ.

Имеем систему уравнений

.

Следовательно, точка М имеет координаты .

Тема 2. Понятие об уравнении поверхности в пространстве. Уравнение сферы. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору. Общее уравнение плоскости и его исследование Условие параллельности двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости. Понятие об уравнении линии. Прямая линия в пространстве. Канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

Вначале, дадим определение понятия уравнения поверхности в пространстве.

Пусть в пространстве задана некотораяповерхность . Уравнениеназывается уравнениемповерхности , если выполнены два условия:

1.для любой точки с координатами, лежащей наповерхности, выполнено , то есть ее координаты удовлетворяют уравнениюповерхности;

2. любая точка , координаты которой удовлетворяют уравнению, лежит на линии.