§ 5. Релятивистская механика. Основные формулы

В специальной теории относительности рассматриваются только инерциальные системы отсчета. Во всех задачах считается, что оси у, у' и z, z' сонаправлены, а относительная скорость υ₀ системы ко­ординат К' относительно системы К нап­равлена вдоль общей оси хх' (рис. 5.1).

• Релятивистское (лоренцево) сок­ращение длины стержня

Рис. 5.1

где l₀ — длина стержня в системе коор­динат К' , относительно которой стержень покоится (собственная длина). Стержень параллелен оси х'; l—

длина стержня, измеренная в системе К, относительно которой он движется со скоростью υ; с — скорость распространения электромагнитного излучения.

• Релятивистское замедление хода часов

где Δt₀ — интервал времени между двумя событиями, происходя­щими в одной точке системы K', измеренный по часам этой системы (собственное время движущихся часов); Δt — интервал времени между двумя событиями, измеренный по часам системы K.

• Релятивистское сложение скоростей

,

где υ' — относительная скорость (скорость тела относительно си­стемы K'); υ₀ — переносная скорость (скорость системы K' относи­тельно К), υ0 — абсолютная скорость (скорость тела относительно системы К).

В теории относительности абсолютной скоростью называется скорость тела в системе координат, условно принятой за непод­вижную.

• Релятивистская масса

, ИЛИ ,

где т₀ — масса покоя; β — скорость частицы, выраженная в долях скорости света

• Релятивистский импульс

, или

• Полная энергия релятивистской частицы

где Т — кинетическая энергия частицы; — ее энергия покоя. Частица называется релятивистской, если скорость частицы сравнима со скоростью света, и классической, если υ<<с.

• Связь полной энергии с импульсом релятивистской частицы

• Связь кинетической энергии с импульсом релятивистской частицы

Примеры решения задач

Пример 1. Космический корабль движется со скоростью υ=0,9 с по направлению к центру Земли. Какое расстояние l прой­дет этот корабль в системе отсчета, связанной с Землей (K-система), за интервал времени Δt₀=1 с, отсчитанный по часам, находя­щимся в космическом корабле (K'-система)? Суточным вращением Земли и ее орбитальным движением вокруг Солнца пренебречь.

Решение. Расстояние l, которое пройдет космический ко­рабль в системе отсчета, связанной с Землей (K-система), определим по формуле

(1) где —интервал времени, отсчитанный в K-системе отсчета. Этот интервал времени связан с интервалом времени, отсчитан­ ным в K'-системе, соотношением Подставив выражение в формулу (1), получим

После вычислений найдем

l=619 Мм.

Пример 2. В лабораторной системе отсчета (K-система) движется стержень со скоростью υ=0,8 с . По измерениям, произведенным в K-системе, его длина l оказалась равной 10 м, а угол φ, который он составляет с осью х, оказался равным 30° . Определить собственную длину l₀ стержня в K'-системе, связанной со стержнем, и угол φ₀, который он составляет с осью х' (рис. 5.2).

Рис. 5.2

Решение. Пусть в K'-системе стержень лежит в плоскости х'О'у'. Из рис. 5.2, а следует, что собственная длина l₀ стержня и угол φ₀, который он составляет с осью х', выразятся равенствами

(1)

В K-системе те же величины окажутся равными (рис. 5.2, б)

(2)

Заметим, что при переходе от системы К.' к К размеры стержня в направлении оси у не изменятся, а в направлении оси х претерпят релятивистское (лоренцево) сокращение, т. е.

(3)

С учетом последних соотношений собственная длина стержня выразится равенством

или

Заменив в этом выражении на (рис. 5.2, б), получим

Подставив значения величин в это выражение и произведя вычисления, найдем

l₀=15₍3 м.

Для определения угла воспользуемся соотношениями (1), (2) и (3):

, или

откуда

Подставив значения φ и β в это выражение и произведя вычисле­ния, получим

Пример 3. Кинетическая энергия Т электрона равна 1 МэВ. Определить скорость электрона.

Решение. Релятивистская формула кинетической энергии

Выполнив относительно β преобразования, найдем скорость час­тицы, выраженную в долях скорости света (β=υ/c):

(1)

где E₀ — энергия покоя электрона (см. табл. 22).

Вычисления по этой формуле можно производить в любых еди­ницах энергии, так как наименования единиц в правой части формул сократятся и в результате подсчета будет получено отвлеченное число.

Подставив числовые значения Е₀ и Т в мега электрон-вольтах, получим

β=0,941. Так как , то

υ = 2,82-10⁸ м/с.

Чтобы определить, является ли частица с кинетической энергией Т релятивистской или классической, достаточно сравнить кинети­ческую энергию частицы с ее энергией покоя.

Если , частицу можно считать классической. В этом случае релятивистская формула (1) переходит в классическую:

, или

Пример 4. Определить релятивистский импульс р и кинетическую энергию Т электрона, движущегося со скоростью υ =0,9 с (где с — скорость света в вакууме).

Решение. Релятивистский импульс

(1)

После вычисления по формуле (1) получим

В релятивистской механике кинетическая энергия Т частицы определяется как разность между полной энергией E и энергией покоя Е₀ этой частицы, т. е.

Так как и , то, учитывая зависимость массы от скорости, получим

или окончательно

(2)

Сделав вычисления, найдем

T=106 фДж.

Во внесистемных единицах энергия покоя электрона m₀с²=0,51 МэВ. Подставив это значение в формулу (2), получим

Т=0,66 МэВ.

Пример 5. Релятивистская частица с кинетической энергией T=т₀c² (m₀ — масса покоя частицы) испытывает неупругое столк­новение с такой же покоящейся (в лабораторной системе отсчета) частицей. При этом образуется составная частица. Определить: 1) релятивистскую массу т движущейся частицы; 2) релятивистскую массу т' и массу покоя m₀' составной частицы; 3) ее кинетическую энергию Т'.

Решение. 1. Релятивистскую массу m движущейся частицы до столкновения найдем из выражения для кинетической энергии релятивистской частицы . Так как , то m= =2т₀.

2. Для того чтобы найти релятивистскую массу составной части­цы, воспользуемся тем, что суммарная релятивистская масса частиц сохраняется *: m+m₀=m', где т+т₀ — суммарная релятивистская масса частиц до столкновения; т' — релятивистская масса состав­ной частицы. Так как т—2т₀ , то

Массу покоя m₀' составной частицы найдем из соотношения

(1) Скорость υ' составной частицы (она совпадает со скоростью V_c центра масс в лабораторной системе отсчета) можно найти из закона сохранения импульса р=р', где р— импульс релятивистской частицы до столкновения; р' — импульс составной релятивистской частицы. Выразим р через кинетическую энергию Т:

Так как , то

Релятивистский импульс . Учитывая, что , закон сохранения импульса можно записать в виде , откуда

Подставив выражения υ' и т' в формулу (I), найдем массу покоя составной частицы:

, или

3. Кинетическую энергию Т' составной релятивистской частицы найдем как разность полной энергии т'с² и энергии покоя т₀'с² составной частицы:

Подставив выражения т' и m₀', получим

• Этот закон см., например, в кн.: Савельев И. В. Куре общей физики.

М., 1977. Т. I, §70.