§5. Формула Байеса

Пусть имеется полная группа несовместных событий . Требуется найти вероятность события, если известно, что событиепроизошло.

По определению условной вероятности (3.4.1), имеем:

.

Далее, применяя теорему умножения вероятностей , получаем

. (3.5.1)

Последняя формула называется формулой Байеса или формулой гипотез (события называют еще гипотезами).

Если после опыта, который заканчивается появлением события , производится еще один опыт, в котором появляется или не появляется событие, то условная вероятность этого последнего события вычисляется по формуле полной вероятности, в которую подставлены не прежние вероятности гипотез, а новые:

. (3.5.2)

Пример 14. Имеются три урны: в первой —белых ичерных шаров; во второй —белых и черных шаров, в третьей —белых шаров. Выбирается наугад урна и из нее вынимается шар. Этот шар оказался белым. Найти вероятность того, что этот шар вынут из первой, второй или третьей урны.

 Решение.Пусть искомое событие— вынутый шар белый. Рассмотрим следующие гипотезы:

— выбрана первая урна;

— выбрана вторая урна;

— выбрана третья урна.

Очевидно, что:

.

Условные вероятности равны:

.

По формуле полной вероятности (3.4.1), находим, что

.

По формуле Байеса (3.5.1), находим:

.

Аналогично получаем, что

,.

Пример 15. Имеются две урны: в первой —белых ичерных шаров; во второй —белых и черных шаров. Выбирается наугад одна из урн и из нее вынимается один шар. Этот шар оказался белым (событие А). найти вероятность того, что следующий шар, который мы вынимаем из той же урны, будет тоже белым(событие В).

 Решение.Рассмотрим следующие гипотезы:

— выбрана первая урна;

— выбрана вторая урна.

Очевидно, что вероятности выбора урн равны:

.

Находим условные вероятности:

По формуле полной вероятности (3.4.1), получаем:

.

По формуле Байеса (3.5.1), получаем:

.

Далее применяем (3.5.2):

.

Условная вероятность появления второго белого шара при условии, что была выбрана первая урна, и из нее вынут белый шар:

.

Аналогично:

.

В итоге:

.

Глава 4. Схема независимых испытаний. Схема Бернулли §1. Формула Бернулли

Определение.Повторные независимые испытания называютсяиспытаниями Бернулли, если каждое испытание имеет только два исхода, и вероятности исходов остаются неизменными для всех испытаний.

Обычно эти две вероятности обозначаются через и, исход с вероятностьюназывают «успехом» и обозначают символом 1, а второй – «неудачей» и обозначают символом 0. Очевидно, чтоидолжны быть неотрицательными и должно выполняться равенство

. (4.1.1)

Пространство элементарных исходов каждого отдельного испытания состоит из двух исходов 1 и 0. Очевидно, пространство элементарных исходов испытаний Бернулли содержитпоследовательностей из символов 1 и 0. Так как испытания независимы, то вероятности перемножаются, т. е. вероятность любой конкретной последовательности есть произведение, полученное при замене символов 1 и 0 вероятности наисоответственно. Таким образом, вероятность исходаравна:

.

Но на практике нас, как правило, интересует не порядок появления успехов в последовательности испытаний Бернулли, а их общее число.

Теорема. Вероятностьтого, что виспытаниях Бернулли число успехов равно, вычисляется по формуле

, (4.1.2)

где — вероятность «успеха», а — вероятность «неудачи».

Доказательство.Событие «виспытаниях Бернулли число успехов равнои число неудач —» содержит столько элементарных исходов, сколько существует способов размещениясимволов наместах, т.е. .А так как вероятность конкретной последовательности, содержащейсимволов 1, равна ,то в итоге получаем:

.

Число успехов в испытаниях обозначают через, тогда. Очевидно, чтоесть случайная величина, а функция (4.1.2) является «распределением» этой случайной величины. Будем называть это распределение биномиальным. Слово биномиальное отражает тот факт, что (4.1.2) представляет собойm-й член биноминального разложения . Отсюда следует, что

.

Пример 1.Стрелок попадает в мишень с вероятностью. Найти вероятность того, что в результате пяти независимых выстрелов стрелок попадает:

a) ровно четыре раза;

б) не менее трех раз.

 Решение.Для решения данной задачи применим формулу (4.1.2), в которой:

.

а) Число успехов равно . Таким образом, искомая вероятность:

.

б) Обозначим — вероятность попадания не менее трех раз из пяти.

.

Пример 2. Сколько испытаний с вероятностью успеханужно произвести, чтобы вероятность хотя бы одного успеха была не меньше 0,5?

 Решение.Рассмотрим следующие события:

— в схеме Бернулли наблюдался хотя бы один успех;

— в схеме Бернулли не наблюдалось ни одного успеха.

Для решения задачи используем формулу (4.1.2), согласно которой вероятность того, что успехов не будет (т.е. число успехов равно нулю), равна:

.

Используя свойство вероятности противоположного события, получаем, что вероятность того, что будет хотя бы один успех, равна:

.

Остается найти наименьшее целое , для которого выполнено неравенство:

.

Решим последнее неравенство.

.

Разделив последнее неравенство на , получим

.

Наименьшим целым числом , удовлетворяющим последнему неравенству, является.

Пример 3. Что вероятнее выиграть у равносильного противника (ничейный исход партии исключен):

а) три партии из четырех или пять из восьми;

б) не менее трех партий из четырех или не менее пяти партий из восьми.

 Решение.Так как противники равносильны и ничейный исход партии исключен, то вероятности выигрыша и проигрыша каждой партии одинаковы и.

а) Вероятность выигрыша трех партий из четырех равна:

,

а вероятность выигрыша пяти партий из восьми равна:

.

Так как , то вероятнее выиграть три партии из четырех.

б) Вероятность выигрыша не менее трех партий из четырех равна:

а вероятность выигрыша не менее пяти партий из восьми равна:

Так как , то вероятнее выиграть не менее пяти партий из восьми.