§2. Применение комбинаторного анализа

Теорема. Изэлементовиэлементовможно образоватьпар.

Доказательство. Составим из этих пар прямоугольную таблицу, состоящую изстрок истолбцов, так, чтобы парастояла на пересеченииi-ой строки иj-го столбца. В этом случае каждая пара появляется один и только один раз. Число элементов такой таблицы равно.

Пример 4. Найти число всевозможных исходов при бросании двух игральных костей.

 Решение. Очевидно, что каждый элемент пары принимает шесть значений. Следовательно, существуетвозможных комбинаций.

Определение. Перестановкойизразличных элементов называется любой упорядоченный набор этих элементов.

Теорема. Число различных перестановок изразличных элементов вычисляется по формуле:

.(2.2.1)

Доказательство. Первый элемент можно выбратьспособами, второй элемент можно выбратьспособами (т.к. один элемент уже выбран), третий — способами и т.д. В итоге получим:

.

Определение. Размещениемизразличных элементов поназывается любой упорядоченный набор изэлементов, выбранных из общей совокупности вэлементов.

Теорема. Число различных размещений изэлементов повычисляется по формуле:

. (2.2.2)

Доказательство. Данная теорема доказывается аналогично предыдущей теореме.

Определение. Сочетаниемизразличных элементов поназывается любойнеупорядоченныйнабор изэлементов, выбранных из общей совокупности вэлементов.

Теорема. Число сочетаний изэлементов повычисляется по формуле:

. (2.2.3)

Доказательство. Число сочетаний отличается от числа размещений только тем, что входящие в него элементы неупорядочены; различных элементов можно упорядочитьспособами. Следовательно, каждому размещению соответствуетсочетаний. Отсюда:

или.

Способ выбора, приводящий к перестановкам, размещениям и сочетаниям, называется выборкой без возвращения.

Рассмотрим выборку с возвращением. В этом случае каждый взятый элемент из общей совокупности возвращается обратно. Таким образом, один и тот же элемент может быть выбран несколько раз.

Теорема. Число выборокэлементов с возвращением изразличных элементов равно.

Доказательство. Первый элемент может быть выбранспособами, второй такжеспособами и т.д. В итоге

.

Пример 5.(Гипергеометрическое распределение). Предположим, что имеютсяшаров: красных и черных. Случайным образом выбираютсяшаров. Найти вероятность того, что выбранная группа будет содержать ровнокрасных и черных шаров (событие А).

 Решение.Число способов, которыми можно выбрать,красных шаров изшаров ровно. Аналогично, число способов, которыми можно выбратьчерных шаров изравно. Так как любой выбор красных шаров может комбинировать (составлять пару) с любым выбором черных шаров, имеем число благоприятных исходов, равное.

Число всевозможных исходов равно .

Используя классическое определение вероятности, получаем:

.

Теорема. Пусть— целые числа, такие, что. Число способов, которыми множество изэлементов можно разделить наупорядоченных подмножеств, из которых первое подмножество содержитэлементов, второе –элементов и т.д., равно

. (2.2.4)

Доказательство. Прежде чем доказывать теорему, заметим, что порядок подмножеств существенен в том смысле, чтоипредставляет собой разные разбиения; однако, порядок элементов внутри групп игнорируется.

Перейдем к доказательству теоремы. Сначала необходимо выбрать элементов из; из оставшихсянеобходимо выбратьэлементов и т.д. Получаем:

.

Пример 6. Колода карт (52 листа) делится поровну между четырьмя игроками. Найти вероятность того, что каждый игрок имеет туза (событие А).

 Решение.Используя (2.2.4), найдем число всевозможных исходов:

.

Найдем число благоприятных исходов. Четыре туза можно упорядочить способами, и каждый порядок представляет одну возможность получения одного туза каждым игроком. Оставшиеся 48 карт, согласно (2.2.4), можно распределитьспособами. Таким образом, число благоприятных исходов равно.

Следовательно, искомая вероятность равна

.

Пример 7. Из полной колоды карт (52 листа) вынимаются сразу несколько карт. Какое минимальное число кар нужно вынуть, чтобы с вероятностью, большей чем, можно было утверждать, что среди них будут карты одной масти.

 Решение.Рассмотрим события— среди вынутых карт есть хотя бы две карты одной масти. Пусть. В этом случае число всевозможных исходов равно. Число благоприятных исходов получаем следующим образом: выбираем масть (4 способа), затем две карты этой масти, т.е..

Следовательно, используя классическое определение вероятности, получаем:

.

Пусть . В этом случае число всевозможных исходов равно. Число благоприятных исходов получаем следующим образом: у нас либо две карты одной масти, либо три карты одной масти, т.е.

.

Следовательно, используя классическое определение вероятности, получаем:

.

Таким образом, необходимо вынуть три карты. 