§2. Общее определение и свойства вероятности

Определение. Вероятностью событияназывается функция, определенная на пространстве элементарных исходов и удовлетворяющая трем условиям:

• Для каждого события

(условие неотрицательности);

• Для достоверного события

(условие нормировки);

• Если , то

(теорема сложения для несовместных событий).

Свойства вероятности:

1. Вероятность события , противоположного событию, равна

.

Доказательство.Используем очевидное свойство суммы противоположных событий. Тогда, используя условие нормировки и теорему сложения для несовместных событий, получим:

,

Из двух последнего равенства следует, что

.

2. Вероятность невозможного события равна нулю, т.е.

.

Доказательство.Используем очевидное свойствои теорему сложения для несовместных событий, получим:

,

откуда и следует данное свойство. 

3. Если событие влечёт за собой событие,то

.

Доказательство.Представим событиев виде суммы двух несовместных событий,.

Используя теорему сложения для несовместных событий, получим:

.

4. Для каждого события ,справедливо неравенство

.

Доказательство. Данное свойство следует из условий нормировки и теоремы сложения для несовместных событий.

Глава 2. Классическая и геометрическая вероятности §1. Классическое определение вероятности

Рассмотрим опыт с бросанием монеты. Пространство элементных исходов содержит два элементарных исхода:

— появление «герба»;

— появление «решки».

В силу того, что монета симметрична, нельзя предпочесть «герб» «решке» (или наоборот). Следовательно, обоим элементарным исходам необходимо сопоставить одинаковую вероятность . Далее очевидно, что

.

Откуда получаем:

.

Рассмотрим общий случай. Пусть пространство состоит извсевозможных равнозначных исходов. Теперь каждому элементарному исходупоставим в соответствие вероятность.

Далее рассмотрим некоторое событие , которому соответствует ровно(благоприятных) элементарных исходов.

Положим

. (2.1.1)

Таким образом, в классической схеме вероятность любого событияопределяется как отношение числаблагоприятных для событияэлементарных исходов к общему числу элементарных исходов.

Пример 1. В урне находятсябелых ичерных шаров. Из урны вынимают наугад один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый (событие).

 Решение. Число всевозможных исходов равно

.

Число благоприятных исходов равно

.

Таким образом, используя классическое определение вероятности, получаем

.

Пример 2.Имеются две урны: в первой –белых ичерных шаров; во второй –белых ичерных шаров. Из каждой урны вынимается по шару. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми (событие А).

 Решение. Каждый шар из первой урны может комбинировать с каждым шаром из второй урны. Следовательно, число всевозможных исходов:

.

Аналогично, число благоприятных исходов:

.

Следовательно, используя классическое определение вероятности, получаем:

.

Пример 3. Из колоды карт (36 листов) наудачу выбирается одна карта. Определить вероятность того, что она окажется тузом (событие А).

 Решение.Число всевозможных исходов равно:

.

Число благоприятных исходов равно числу тузов, т.е.

.

Таким образом, используя классическое определение вероятности, получаем:

.