§2. Простейшие статистические преобразования

Для обоснованных статистических выводов необходимо иметь выборку достаточно большого объема . Очевидно, что использование и хранение такой выборки весьма затруднительно. Чтобы избавиться от данных проблем, используют понятие статистики.

Определение. Статистикой называется произвольнаяk‑мерная функция от выборки:

Как функция от случайного вектора статистикатакже будет случайным вектором.

Определение.Вариационным рядомявляется выборка, элементы которой расположены в порядке возрастания элементов:.

Очевидно, что данное преобразование не приводит к потере информации относительно теоретической функции распределения.

Для величин иупотребляют название «крайние члены вариационного ряда».

Определение. Размахом варьирования называется разность между крайними членами вариационного ряда, т.е.

. (7.2.1)

Если среди элементов выборки имеются одинаковые, что происходит при наблюдении дискретной случайной величины, то целесообразно произвести группировку данных.

Определение. Значение выборки, соответствующее отдельной группе сгруппированного ряда наблюдаемых данных, называетсявариантой, а численность отдельной группы сгруппированного ряда наблюдаемых данных, называетсячастотойиливесомварианты.

Если — индекс варианты, то— число значений‑ой варианты.

Определение. Отношение частотык общей сумме всех частотназываетсяотносительной частотойварианты и обозначается.

Определение.Статистическим рядом называется расположенная по возрастанию совокупность различных вариант, представляющих выборку, с соответствующими им частотами или относительными частотами.

При наблюдении непрерывной случайной величины используют интервальный ряд. В этом случае весь возможный интервал, которому принадлежат значения выборки, разбивают на конечное число частичных интервалов и подсчитывают частоту попадания элементов выборки в каждый частичный интервал.

Определение.Интервальным рядом называется упорядоченная последовательность интервалов с соответствующими им частотами или относительными частотами попадания элементов выборки в каждый из этих интервалов.

Пример 1. В городеAдля определения сроков гарантированного обслуживания проведено исследование величины среднего пробега автомобилей, находящихся в эксплуатации в течение двух лет. Получены следующие результаты (тыс. км.):

3,0; 25,0; 18,6; 12,1; 10,6; 18,0; 17,3; 29,1; 20,0; 18,3; 21,5; 26,7; 12,2; 14,4; 7,3; 9,1; 2,9; 5,4; 40,1; 16,8; 11,2; 9,9; 25,3; 4,2; 29,6.

Составить интервальный ряд.

 Решение. Очевидно, что величина среднего пробега автомобилей, находящихся в эксплуатации в течение двух лет, является непрерывной случайной величиной. Полученные данные представляют собой выборку изнаблюдений. Найдем сначала минимальное и максимальное значения случайной величины (т.е. крайние члены вариационного ряда):и. Размах варьирования будет равен.

Возьмем число частичных интервалов . В этом случае длина частичного интервала равна

.

Соответствующий интервальный ряд приведен в таблице 7.1.

Таблица 7.1

Номер интервала	Средний пробег автомобилей (интервалы)	Частота	Относительная частота
1	2,9 — 9,1	6	0,24
2	9,1 — 15,3	6	0,24
3	15,3 — 21,5	7	0,28
4	21,5 — 27,7	3	0,12
5	27,7 — 33,9	2	0,08
6	33,9 — 40,1	1	0,04



Пример 2. Наблюдается число выигрышей в мгновенной лотерее. В результате наблюдения получены следующие значения выигрышей (тыс. руб.):

0, 1, 0, 0, 5, 0, 10, 0, 1, 0, 0, 1, 5, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 5, 0, 5, 0, 0, 1, 1, 1, 5, 10, 0, 1, 1, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 1, 0.

Требуется составить статистический ряд случайной величины — выигрыша в мгновенной лотерее.

 Решение. Случайная величинапринимает 4 различных значения: 0, 1, 5 и 10. Для каждого значения подсчитаем частоту и относительную частоту. Результаты задачи представим в таблице 7.2.

Таблица 7.2

№		1	2	3	4
Выигрыш в мгновенной лотерее		0	1	5	10
Частота		31	14	7	2
Относительная частота		31/54	7/27	7/54	1/27

