
- •Федеральное агентство по образованию
- •§2. Общее определение и свойства вероятности
- •Глава 2. Классическая и геометрическая вероятности §1. Классическое определение вероятности
- •§2. Применение комбинаторного анализа
- •§3. Геометрическое определение вероятности
- •Глава 3. Условная вероятность. Независимость событий. Формулы полной вероятности и Байеса §1. Условная вероятность
- •§2. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •§3. Независимость событий
- •§4. Формула полной вероятности
- •§5. Формула Байеса
- •Глава 4. Схема независимых испытаний. Схема Бернулли §1. Формула Бернулли
- •§2. Формула Пуассона
- •§3. Формулы Муавра – Лапласа
- •Глава 5. Случайные величины и их распределения §1. Понятие случайной величины
- •§2. Функция распределения случайной величины
- •§3. Дискретные случайные величины
- •§4. Непрерывные случайные величины
- •§5. Функция от случайных величин
- •Глава 6. Числовые характеристики случайных величин §1. Математическое ожидание случайной величины
- •§2. Математическое ожидание функции от случайной величины. Свойства математического ожидания
- •§3. Дисперсия. Моменты высших порядков
- •Глава 7. Элементы математической статистики §1. Основные понятия и основные задачи математической статистики
- •§2. Простейшие статистические преобразования
- •§3. Эмпирическая функция распределения
- •§4. Полигон и гистограмма
- •Глава 8. Статистическое оценивание §1. Точечные оценки. Выборочная средняя и выборочная дисперсия
- •§2. Метод моментов
- •§3. Метод максимального правдоподобия
- •§4. Интервальные оценки (доверительные интервалы)
- •Глава 9. Проверка статистических гипотез §1. Основные понятия
- •§2. Проверка гипотезы о значении математического ожидания
- •§3. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух генеральных совокупностей
- •§4. Проверка гипотезы о значении дисперсии генеральной совокупности
- •§5. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей
- •§6. Проверка гипотезы о распределении. Критерий Пирсона
- •Приложения
- •Плотность стандартного нормального распределения
- •Функция распределения стандартного нормального закона
- •Критические точки распределения
- •Критические точки распределения Стьюдента
- •Используемая литература
- •Глава 1. Случайные события и их вероятности 2
§5. Функция от случайных величин
Пусть
— случайная величина. Пусть задана
функция
.
Каждому элементарному исходу
поставим в соответствие число
по формуле
.
Тем самым получим случайную величину
,
называемую функцией
от
случайной величины
.
Пусть— дискретная случайная величина. Тогда
случайная величина
также является дискретной случайной
величиной, поскольку она не может
принимать больше значений, чем случайная
величина
.
Очевидно, что ряд распределения случайной
величины
имеет вид:
-
…
…
При этом, если в верхней строке ряда
распределения появляются одинаковые
значения
,
то соответствующие столбцы необходимо
объединить в один, приписав им суммарную
вероятность.
Пример 9. Случайная величина ξ имеет ряд распределения:
-
-2
-1
0
1
2
0,1
0,2
0,3
0,3
0,1
Найти закон распределения случайной
величины
.
Решение.Составим ряд распределения
случайной величины
:
-
2
1
0
1
2
0,1
0,2
0,3
0,3
0,1
Объединив первый и пятый, второй и четвертый столбцы, получим:
-
0
1
2
0,3
0,5
0,2
Ряд распределения случайной величины
получен.
Пусть
— непрерывная случайная величина. При
этом случайная величина
может
быть как непрерывной, так и дискретной.
Будем рассматривать непрерывные функции
.
Пусть случайная величина
имеет плотность
.
Тогда
.
(5.5.1)
Пример 10. Пусть случайная величинаимеет плотность
.
Найти распределение случайной величины
.
Решение.В данном случае.
Согласно (5.5.1), получим
.
Очевидно, что при
,
функция распределения равна нулю, т.е.
.
При
область
совпадает с областью
.
Отсюда получаем
.
Выведем более удобные формулы для
вычисления функции
,
где
.
Теорема.Пусть— непрерывная случайная величина с
плотностью
,
а случайная величина
связана
с
функциональной зависимостью
,
где
— дифференцируемая функция, монотонная
на всем участке возможных значений
аргумента
.
Тогда плотность распределения случайной
величины
выражается формулой
,
(5.5.2)
где
— функция, обратная по отношению к
функции
.
Доказательство.Пусть— монотонно возрастающая функция. Тогда
.
Продифференцировав последнее равенство, получаем
.
(5.5.3)
Пусть— монотонно убывающая функция. В этом
случае
и, следовательно,
.
Отсюда получаем:
Продифференцировав последнее равенство, получаем
.
(5.5.4)
Учитывая свойства модуля, равенства (5.5.3) и (5.5.4) объединим в одно
,
что совпадает с (5.5.2).
Пример 11.Случайная величинараспределена равномерно в интервале
.
Найти закон распределения случайной
величины
.
Решение.Функцияв интервале
монотонна, следовательно, можно применить
формулу (5.5.2). Решение задачи удобно
расположить в виде таблицы, содержащей
три столбца: в первом запишем план
решения задачи; во втором столбце запишем
обозначения функций, принятые в общем
случае; в третьем — конкретные функции,
соответствующие данному примеру:
-
Плотность случайной величины
Функциональная зависимость между случайными величинами
и
Обратная функция
Модуль производной обратной функции
Плотность случайной величины
Интервал
,
в котором лежат значения случайной
величины
,
определяется областью значений функции
для
.
Следствие из теоремы.Если— немонотонная функция, то обратная к
ней функция неоднозначна, и плотность
распределения случайной величины
определяется в виде суммы стольких
слагаемых, сколько значений (при данном
значении
)
имеет обратная функция:
,
(5.5.5)
где— значения обратной функции для данного
.
Пример 12.Случайная величинараспределена равномерно в интервале
.
Найти плотность распределения случайной
величины
.
Решение.Функциянемонотонная в интервале
,
ее значения лежат в интервале (0,1). В
данном случае для любого
обратная функция будет иметь два
значения:
-
Плотность случайной величины
Функциональная зависимость между случайными величинами
и
.
Обратная функция
Модуль производной обратной функции
Плотность случайной величины
.