§5. Функция от случайных величин

Пусть — случайная величина. Пусть задана функция. Каждому элементарному исходупоставим в соответствие числопо формуле. Тем самым получим случайную величину, называемую функциейот случайной величины.

Пусть— дискретная случайная величина. Тогда случайная величинатакже является дискретной случайной величиной, поскольку она не может принимать больше значений, чем случайная величина. Очевидно, что ряд распределения случайной величиныимеет вид:

			…
			…

При этом, если в верхней строке ряда распределения появляются одинаковые значения , то соответствующие столбцы необходимо объединить в один, приписав им суммарную вероятность.

Пример 9. Случайная величина ξ имеет ряд распределения:

	-2	-1	0	1	2
	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

Найти закон распределения случайной величины .

 Решение.Составим ряд распределения случайной величины :

	2	1	0	1	2
	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

Объединив первый и пятый, второй и четвертый столбцы, получим:

	0	1	2
	0,3	0,5	0,2

Ряд распределения случайной величины получен.

Пусть — непрерывная случайная величина. При этом случайная величинаможет быть как непрерывной, так и дискретной. Будем рассматривать непрерывные функции. Пусть случайная величинаимеет плотность. Тогда

. (5.5.1)

Пример 10. Пусть случайная величинаимеет плотность

.

Найти распределение случайной величины .

 Решение.В данном случае. Согласно (5.5.1), получим

.

Очевидно, что при , функция распределения равна нулю, т.е.. Приобластьсовпадает с областью . Отсюда получаем

.

Выведем более удобные формулы для вычисления функции , где.

Теорема.Пусть— непрерывная случайная величина с плотностью, а случайная величинасвязана сфункциональной зависимостью

,

где — дифференцируемая функция, монотонная на всем участке возможных значений аргумента.

Тогда плотность распределения случайной величины выражается формулой

, (5.5.2)

где — функция, обратная по отношению к функции.

Доказательство.Пусть— монотонно возрастающая функция. Тогда

.

Продифференцировав последнее равенство, получаем

. (5.5.3)

Пусть— монотонно убывающая функция. В этом случаеи, следовательно,. Отсюда получаем:

Продифференцировав последнее равенство, получаем

. (5.5.4)

Учитывая свойства модуля, равенства (5.5.3) и (5.5.4) объединим в одно

,

что совпадает с (5.5.2). 

Пример 11.Случайная величинараспределена равномерно в интервале. Найти закон распределения случайной величины.

 Решение.Функцияв интервалемонотонна, следовательно, можно применить формулу (5.5.2). Решение задачи удобно расположить в виде таблицы, содержащей три столбца: в первом запишем план решения задачи; во втором столбце запишем обозначения функций, принятые в общем случае; в третьем — конкретные функции, соответствующие данному примеру:

Плотность случайной величины
Функциональная зависимость между случайными величинами и
Обратная функция
Модуль производной обратной функции
Плотность случайной величины

Интервал , в котором лежат значения случайной величины, определяется областью значений функциидля.

Следствие из теоремы.Если— немонотонная функция, то обратная к ней функция неоднозначна, и плотность распределения случайной величины определяется в виде суммы стольких слагаемых, сколько значений (при данном значении) имеет обратная функция:

, (5.5.5)

где— значения обратной функции для данного.

Пример 12.Случайная величинараспределена равномерно в интервале. Найти плотность распределения случайной величины.

 Решение.Функциянемонотонная в интервале, ее значения лежат в интервале (0,1). В данном случае для любогообратная функция будет иметь два значения:

Плотность случайной величины
Функциональная зависимость между случайными величинами и.
Обратная функция
Модуль производной обратной функции
Плотность случайной величины

.