§3. Дискретные случайные величины

Как уже говорилось, дискретной называется случайная величина, которая каждому элементарному исходу ставит в соответствие одно из конечного (или в общем случае счетного) набора чисел.

Дискретную случайную величину удобно характеризовать рядом распределения.

Определение.Рядом распределения (вероятностей)дискретной случайной величины называется таблица (таблица 5.1), состоящая из двух строк: в первой строке перечислены все возможные значения случайной величины, а во второй — вероятноститого, что случайная величинапримет значение.

Таблица 5.1

			…		…		…
			…		…		…

При этом должно выполняться равенство

. (5.3.1)

Функцию распределения дискретной случайной величины можно определить по формуле

. (5.3.2)

Пример 4.Производится один опыт, в результате которого может произойти событиес вероятностью. Рассмотрим случайную величину

Для случайной величины ряд распределения и найти ее функцию распределения.

 Решение. Очевидно, что ряд распределения имеет вид:

	0	1

где .

Функцию распределения случайной величины найдем по формуле (5.3.2).

Пусть . В этом случае событиеявляется невозможным, так как случайная величинане принимает значений меньших 0. Отсюда получаем:

.

Пусть . В этом случае событиесовпадает с событием, следовательно:

.

Пусть . В этом случае событиеявляется достоверным, следовательно

.

Таким образом, функция распределения примет вид:



Пример 5. Рассмотрим схему последовательных независимых испытаний, в каждом из которых с вероятностьюможет произойти событие. Рассмотрим случайную величину— число испытаний, которое необходимо произвести, прежде чем событиепроизойдет. Построить ряд распределения случайной величины.

 Решение. Случайная величинаможет принимать значения. Случайная величинапринимает значение 0, если в первом же испытании произойдет событие, следовательно:

.

Случайная величина принимает значение 1, если в первом испытании событиене произошло, а во втором испытании событиепроизойдет, следовательно,

.

Случайная величина принимает значение 2, если в первых двух испытаниях событиене произошло, а в третьем испытании событиепроизойдет, следовательно,

.

Продолжая аналогично данные рассуждения, получим ряд распределения:

	0	1	2	…		…
				…		…



Пример 6. На зачете студент получилзадачи. Вероятность решить правильно каждую задачу. Построить ряд распределения случайной величины— числа правильно решенных задач.

 Решение. Случайная величинаможет принимать значения 0, 1, 2, 3, 4. Для нахождения вероятности событийприменим формулу Бернулли:

,

,

,

,

.

Таким образом, ряд распределения числа правильно решенных задач примет вид:

	0	1	2	3	4
	0,0016	0,0256	0,1536	0,4096	0,4096



§4. Непрерывные случайные величины

Как уже говорилось, непрерывной называется случайная величина, возможные значения которой непрерывно заполняют какую-то область. Дадим более строгое определение непрерывной случайной величины.

Определение. Случайная величинаназываетсянепрерывной, если ее функцию распределенияможно представить в виде:

. (5.4.1)

Определение. Функция, присутствующая в (5.4.1), называетсяплотностью распределения(вероятностей) случайной величины.

Отметим, что все реально встречающиеся плотности распределения являются непрерывными (за исключением, быть может, конечного числа точек) функциями, и, следовательно, для них плотность распределения представляет собой производную функции распределения, т. е.

. (5.4.2)

Свойства плотности распределения:

1. Плотность является неотрицательной функцией, т.е.

.

Доказательство.Функция распределения — неубывающая функция. Следовательно, ее производная, которая по (5.4.2.) является плотностью, есть неотрицательная функция.

2. Вероятность попадания случайной величины в интервалравна определенному интегралу от ее плотности в пределах отдо, т.е.

.

Доказательство.С одной стороны, по свойству 5 функции распределения

,

c другой стороны, в силу (5.4.2):

.

3. Условие нормировки: несобственный интеграл от плотности случайной величины в бесконечных пределах равен единице, т.е.

.

Доказательство. В силу свойства 2, имеем

.

4. .

Доказательство. Из свойства 2 следует, что вероятность попадания случайной величины на интервалчисленно равна площади криволинейной трапеции (рис. 5.1).

Как видно из рис. 5.1, при вероятность попадания на интервалприближенно совпадает с площадью прямоугольника со сторонамии.

5. Для непрерывных случайных величин .

Доказательство. Достаточно применить свойство 4, где.

6. Для непрерывных случайных величин свойство 2 можно переписать в виде:

.

Пример 7. Случайная величинаимеет плотность

График функции изображен на рис. 5.2.

Найти функцию распределения случайной величиныи изобразить ее график.

 Решение. Для решения задачи применим формулу (5.4.1).

При получаем, что

.

При получаем:

.

При имеем:

.

Таким образом, получаем

График функции распределения изображен на рис. 5.3. 

Пример 8.Случайная величинаподчинена закону Симпсона («закону равнобедренного треугольника») на участке(рис. 5.4).

Найти плотность распределения и функцию распределения.

 Решение.Используя свойство 3 плотности, найдем высоту треугольника:

.

Далее находим уравнения ребер:

, при;

, при

или

.

Найдем функцию распределения .

Очевидно, что при функция распределения равна нулю, т.е..

Далее, при :

.

При :

.

При , получаем.

Таким образом, получено

,

