пособия / Теория графов

Теория графов

Основные понятия.

Определение 1. Граф – это множество вершин Х, множество , где - множество дуг и - множество ребер, и заданное отношение (инцидентности) R между ними. Ребро обычно изображается в виде неориентированной линии, соединяющей вершины, а дуга – в виде ориентированной линии (на дуге, таким образом, задано направление от начала к концу , а на ребре направления нет и вершины и равноправны).

Определение 2. Две вершины графа называются смежными, если они инцидентны одному ребру или дуге.

Определение 3. Степень вершины графа равна числу ребер (дуг) инцидентных .

Определение 4. Граф называется ориентированным, если он содержит хотя бы одну дугу и не содержит рёбер..

Определение 5. Граф называется неориентированным, если он содержит только ребра.

Определение 6. Полустепенью исхода (захода) называется число дуг исходящих из вершины (заходящих в вершину).

Обозначения: – полустепень захода; – полустепень исхода.

.

Степени и полустепени вершин.

Г₅

V₁ V₂ х₃

х₁ х₂ V₅

V₃ V₄

х₄

Определение 7. Петля – дуга (ребро), начало и конец которой совпадают.

Определение 8. Вершина называется изолированной, если.

Утверждение 1. Для ориентированного графа без петель справедливы равенства

и .

Утверждение 2. В графе без петель справедливо равенство: , где -число ребер и дуг.

Определение 9. Вершина называется висячей (листом), если

Определение 10. Вершина называется узлом, если

Определение 11. Граф называется однородным если все степени его вершин одинаковы.

Определение 12. Граф (простой) называется полным если n – число вершин.

Определение 13. Путь в ориентированном графе – это последовательность дуг

в которой начало следующей дуги совпадает с концом предыдущей.

Определение 14. Цепь в неориентированном графе – последовательность ребер

, в которой для каждого ребра один конец совпадает с концом предыдущего ребра, а другой конец является началом последующего ребра.

Для Г₅ последовательность – путь, а последовательность – не путь.

Цепи в неориентированном графе .

Г6

V₁

x₂ V₂

x₁ V₃ x₃ V₅

V₆ V₄

x₄

Цепи:

Определение 15. Замкнутая цепь (путь)называется циклом (контуром).

Заметим, что цепь является замкнутой, если ее начало совпадает с концом.

В графе цепь – контур; в графе цепь – цикл, а – цикл (но не контур) !

Замечание. Если в ориентированном графе игнорировать ориентацию, то есть заменить все дуги на ребра, то получаем неориентированный граф, в котором определены цепи и циклы.

Определение 16. Путь (цепь) называется простым (простой), если каждая дуга (ребро) встречается в нем (в ней) не более 1 раза.

Определение 17. Путь (цепь) называется элементарным (элементарной), если каждая вершина встречается не более 1 раза.

Для простого графа дугу (ребро) можно записать как (соответственно, ), где – начало и конец дуги ( концы ребра).

В графе путь можно записать в виде

Определение 18: Цикл называется эйлеровым, если он содержит все ребра графа и является простым.

Определение 19: Граф называется эйлеровым если он содержит эйлеров цикл.

Определение 20: Цикл называется гамильтоновым, если он содержит все вершины графа и является элементарным.

Определение 21: Граф называется гамильтоновым если он содержит гамильтонов цикл.

Теорема Эйлера. Конечный связный граф является эйлеровым тогда и только тогда, когда степени всех его вершин четны.

Определение 22: Взаимно-однозначное отображение множества вершин графа на множество вершин графа и ребер (дуг) на , сохраняющее отношение инцидентности, называется изоморфизмом графов и :

.

Замечание. В простом графе достаточно определить изоморфизм на множестве вершин.

Определение 23. Граф, изоморфный части графа , называется подграфом .

Подграф.

Определение 24. Граф называется плоским (планарным), если его можно изоморфно отобразить на граф , расположенный на плоскости без самопересечений.

Определение 25. Редукцией графа называется «стирание» вершины степени .

Утверждение 3. Если редуцированный граф не плоский, то и сам граф неплоский.

Утверждение 4. Если подграф не плоский, то и сам граф неплоский.

Теорема. Граф не является плоским тогда и только тогда, когда с помощью операций перехода к подграфу и редукции он сводится к одному из двух стандартных неплоских графов .

Определение 26. Сетью называется связный ориентированный граф без петель и циклов.

Вершины с полустепенью захода , называются входами, и с полустепенью исхода , называются выходами.

Определение 27. Говорят, что дуга направлена от входа к выходу, если она лежит на некотором пути от некоторого входа к некоторому выходу.

Определение 28. Деревом называется связный неориентированный граф без петель и циклов (в котором выделена одна вершина, называемая корнем дерева).

Теорема. Пусть - связный неориентированный граф с выделенной вершиной. Тогда следующие свойства эквивалентны:

1). - дерево;

2). В графе нет простых циклов (в частности петель);

3). Любые две вершины графа связаны единственной простой цепью;

4). Число ребер на 1 меньше числа вершин: = - число вершин графа.