2. Подграфы и части графа

Пусть G (V, E) – исходный граф (рис. 17.9).

Р исунок 17.9

G’(V’, E’) – часть графа – это могут быть все вершины, но дуги не все.

V’ V, E’ E (V’V’).

Если у части графа V’ = V, то ее называют суграфом.

G”(V”, E”) – подграф – часть графа, в которой сохранены все ребра, связывающие вершины графа V” V, E” = Е (V”V”).

3. Гомоморфизм и изоморфизм графов

Пусть имеем граф G (V, E) (рис. 17.10).

И пусть имеется отображение: : V  V, при котором

a,b, a, b  V   (a),  (b),  (a),  (b)  V.

Такое отображение называется гомоморфизмом.

Р исунок 17.10

Если отображение взаимно однозначно: : V  V, то это изоморфизм.

Изоморфные графы эквивалентны с точность до обозначений вершин.

Пример (рис. 17.10).

Для графа G ( V, E ) имеем

 (1) = a,  (2) = b,

 (3) = c,  (4) = b.

Это гомоморфное преобразование.

Для графа G = (V , E ) имеем

 (1) = a,  (3) = c,

 (2) = b,  (4) = d.

Это изоморфное преобразование.

G  G  c точностью до обозначения вершин.

4. Взвешенные графы

Иногда ребрам (дугам) графа и/или его вершинам сопоставляются числа, называемые весами ребер (дуг) и весами вершин. Тогда граф называют графом со взвешенными ребрами (дугами) и/или вершинами (или просто взвешенным графом).

Примеры графов с взвешенными ребрами и вершинами показаны на рис. 17.11.

Р исунок 17.11

17.2.2 вопросы для контроля к п. 17.2.1

1. Что называется графом? Какие графы вы знаете? Приведите примеры.

2. Что такое смежность вершин и смежность ребер (дуг)?

3. Какие вершина и ребро (дуга) инцидентны?

4. Что такое подграф и часть графа? Чем они отличаются?

5. Поясните понятия гомоморфизм и изоморфизм графов.

17.2.3 Представление графов в ЭВМ

17.2.3.1 Матричная форма представления графов

а) Матрица смежности

Матрица смежности – это квадратная матрица А = , число строк и столбцов в которой равно числу вершин графа n, а элементы определяются по правилу

а_ij =

где e_ij – ребро (дуга), соединяющее вершины i и j.

Матрица А задает граф с точностью до изоморфизма (по графическому представлению графа однозначно строится матрица, а по матрице – графическое представление графа).

Два графа эквивалентны, если равны их матрицы смежности.

Два графа эквивалентны, если их матрицы смежности можно сделать одинаковыми путем одновременной перестановки строк и столбцов в одной из них.

Вот пример матрицы смежности

A₆₆ = .

Задание. Нарисуйте граф.

Для неорграфа матрица смежности симметрична относительно главной диагонали. Для орграфа матрица смежности не симметрична.

Для мультиграфа и псевдографа:

a_ij=

m(x_i, x_j) –число ребер между вершинами х_i и х_j.

Если на вершинах графа заданы веса, то вводится дополнительный массив W длины n, в котором элемент w(i) задает значение веса вершины графа.

Если на ребрах (дугах) заданы веса, то для их задания применяется матрица смежности, но значения элементов равны весам связей.

Для мультиграфа, псевдографа с весами на ребрах и дугах используется трехмерная матрица, где третья размерность используется для записи веса ребра, дуги, петли.