21.2.6 Реберная раскраска графа

Иногда требуется в разные цвета окрасить ребра графа так, чтобы смежные ребра имели разные цвета. Решить задачу о числе необходимых красок для такой раскраски ребер можно с помощью рассмотренных алгоритмов раскраски вершин графа. Для этого надо превратить ребра в вершины и соединить полученные вершины так, что две вершины соединяются ребром, если в исходном графе ребра были смежны.

Для реберной раскраски имеется достаточно точная оценка требуемого числа красок в виде

,

где максимальная степень вершин графаG.

Число красок, необходимое для реберной раскраски, при которой смежные ребра имеют разный цвет, обозначается и называется хроматическим классом или хроматическим индексом.

Для некоторых видов графов хроматический класс определяется достаточно просто, например, для графа в виде цикла с nвершинами2 или 3 в зависимости от того, четноnили нечетно. Для двудольных полных графов= max(m,n). Для полных графов=n, еслиnнечетно, и=n– 1, еслиnчетно.

Для раскраски ребер графа рис. 8.2 требуется 3 краски. Раскрасьте граф самостоятельно.

21.2.7 Вопросы для контроля к п. 21.2.4…21.2.6

1. Поясните понятие внутренней устойчивости вершин графа.

2. Число внутренней устойчивости графа – что это такое и как оно обозначается?

3. Приведите алгоритм определения внутренне устойчивых множеств вершин графа.

4. Что такое вершинная раскраска графа? Приведите алгоритм определения минимального числа красок для такой раскраски.

5. Что такое хроматическое число графа и какие оценки существуют для него?

6. На чем основан приближенный алгоритм нахождения максимального независимого множества вершин графа?

7. Примените простейший алгоритм последовательной раскраски вершин графа на примере графа C₅. Сколько потребовалось красок? Сколько потребуется красок для раскраски графаC₆? Какой вывод можно сделать о раскраске графов–циклов?

8. Что такое хроматический класс графа и какие оценки существуют для него?