21 Лекция №20. Устойчивость графов

Продолжительность:2 часа (90 мин.)

21.1 Ключевые вопросы

21 Лекция №20. Устойчивость графов 1

21.1 Ключевые вопросы 1

21.2 Текст лекции 1

21.2.1 Внешне устойчивые множества вершин графа 1

Алгоритм определения внешне устойчивых множеств вершин 2

21.2.2 Вершинная база 3

19.2.3 вопросы для контроля к п. 19.2.1 и 19.2.2 4

21.2.4 Внутренняя устойчивость графа 4

21.2.5 Раскраска вершин графа 6

21.2.6 Реберная раскраска графа 9

21.2.7 Вопросы для контроля к п. 21.2.4…21.2.6 10

21.2 Текст лекции

21.2.1 Внешне устойчивые множества вершин графа

Множество вершин, такое, что вершины графа Gпринадлежат этому множеству или смежны хотя бы с одной вершиной этого множества, называется внешне устойчивым или доминирующим множеством вершин (ДМВ).

Если это множество не содержит подмножеств с таким же свойством, то оно минимально.

Мощность минимального ДМВ обозначается β(G) и называется числом внешней устойчивости графа.

Для нахождения ДМВ образуем матрицу

A’ = E v A,

где Е– единичная матрица,А– матрица смежности.

МатрицаЕвводится для учета изолированных вершин.

Найдем в матрице A’ минимальное множество строк, единицы в которых покрывают все столбцы. Множество вершин, соответствующее этому множеству строк, и есть ДМВ.

Пример.Для графа, показанного на рис. 21.1, получаем

A’ = E v A = v = .

Рисунок 21.1

Для нахождения всех внешне устойчивых множеств вершин графа поступим следующим образом.

Анализируя матрицу A’, замечаем, что

• для покрытия столбца 1 нужна строка 1 (v₁),

• для покрытия столбца 2 нужна строка 1 (v₁), или строка 2 (v₂), или строка 3 (v₃), что можно записать так (v₁v₂v₃),

• для покрытия столбца 3 нужна строка 3 (v₃),

• для покрытия столбца 4 нужна строка 2 (v₂) или строка 4 (v₄), что можно записать (v₂v₄).

Поскольку нам необходимо покрыть строками и столбец 1, и столбец 2, и столбец 3, и столбец 4, то для покрытия всех столбцов, заменив союз И символом конъюнкции, можно записать

v₁(v₁v₂v₃)v₃(v₂v₄).

Раскрыв скобки и проведя преобразования, получаем

v₁v₂v₃v₁v₃v₄.

Каждое из множеств {v₁,v₂,v₃} и {v₁,v₃,v₄} является доминирующим множеством вершин.

число внешней устойчивости данного графа β(G) равно 3.

Алгоритм определения внешне устойчивых множеств вершин

Используя полученные результаты, алгоритм нахождения всех доминирующих множеств вершин графа можно сформулировать следующим образом:

1. Получить матрицу A’ =EvA.

2. Обозначить вершины графа логическими переменными, например, x₁,x₂,x₃,…,x_n, гдеx_i= 1, если вершина принадлежит какому либо внешне устойчивому множеству, иx_i= 0 в противном случае.

3. Для каждой вершины графа, используя матрицу A’, записать выражение

где – x_iвершина, соответствующая выбранной строке,

x_k,x_l,…,x_q– вершины, смежные ей.

Для изолированных вершин, а для орграфа и для тупиковых вершин, логические выражения будут содержать по одной переменной.

4. Сформировать логическое выражение в виде произведения полученных сумм

П = C_i C_j …C_k.

4. Провести преобразования логического выражения П для получения минимальной дизъюнктивной нормальной формы (МДНФ).

5. Каждая конъюнкция полученной МДНФ будет являться доминирующим множеством вершин графа, а количество переменных в минимальной из них будет числом внешней устойчивости данного графа β(G). В совокупности получим семейство из всех внешне устойчивых множеств графа.