25.2.3 Алгоритм нахождения максимального потока

Рассмотрим алгоритм определения максимального потока в сети. Этот алгоритм состоит из двух фаз.

В первой фазе по заданному потоку, используя процедуру пометок вершин, проверяем, существует ли хотя бы одна дополняющая цепь.

Если такой цепи нет, то данный поток максимален.

Иначе переходим ко второй фазе, в которой, используя метки, полученные в первой фазе, определим дополняющую цепь Р– и получим измененный на основе цепиРпоток.

Затем первая фаза повторяется для нового потока .

В первой фазе метка вида (d_v,_v) приписывается вершинеv.

Первый символ d_v в метке указывает на вершину, из которойvполучила эту метку. Она также указывает и направление помечивания – прямое или обратное.

Второй символ показывает возможное приращение потока в сети.

Если вершина сток tполучает метку, то это значит, что существует ненасыщеннаяs—tцепьРи что для этой цепи=_t.

Первая фаза начинается с пометки источника парой (–,). Здесь значениеd_sнесущественно. Пометка остальных вершин происходит в соответствии со следующими правилами.

Предположим, что вершина ипомечена, а вершинаvнет. Пустье – дуга, связывающаяииv.

Прямое помечивание. Если дугаeпрямая, т.е.е =(u, v), то прямое помечиваниеvизи вдоль дугиевозможно, еслиc(e)>f(e).В этом случаеvполучает метку (u⁺,_v), где_v = min{_u,c(e)– f(e)}.

Обратное помечивание.Еслиeобратная дуга, т. е.е = (v,и), то обратное помечиваниеvизивдоль дугиевозможно, еслиf(e)>0.В этом случаеvполучает метку (и^–,_v), где_v = min{_u,f(e)}.

На первой фазе вершины помечаются только однажды.

Эта фаза завершается, когда либо

• вершина tполучает метку, либо

• вершина t не помечена, и ни одну из вершин нельзя пометить.

Если tполучает метку в первой фазе, то из правил помечивания следует, что существует дополняющая цепьРи=_t, которая прослеживается во второй фазе в обратном направлении с помощью символовd_vи определяется измененный на основеРпоток.

Затем первая фаза повторяется применительно к новому потоку.

Если первая фаза завершается, не приписав метки вершине t, то это означает, что ни одной дополняющей цепи нет и, следовательно, имеющийся поток максимален.

Формальное описание алгоритма, предложенного Фордом и Фалкерсоном, представлено ниже.

Алгоритм:

1. Выбрать какой–либо поток fв сети.можно положитьf(e) = 0 для всех дуг вN.

2. Пометить sпарой (–,). (Начинаетсяфаза 1.)

3. Если существуют непомеченные вершины, которые можно пометить с помощью прямого или обратного помечивания, то выбрать одну такую вершину v. (Правила выбора вершин см. ниже.) Пометить ее и перейти к шагу 4. Иначе идти к шагу 7.

4. Если v = t,то идти к шагу 5. (Фаза 1 завершена.) Иначе к шагу 3.

5. (Начинается фаза 2.) Пусть метка вершиныv есть (d_v,_v). Тогда выполнить следующие действия:

если d_v= u⁺, то положитьf(и, v)= f(u,v) +_t,

если d_v= u^–,то положитьf(v, u) =f(v, u) –_t.

6. Если u = s,то удалить все метки (фаза 2 завершена) и идти к шагу 2. Иначе положитьv = uи идти к шагу 5.

7. СТОП. (Полученный поток f – максимален.)

В рассмотренном алгоритме выбор вершин для помечивания производится в произвольном порядке, что может привести к зацикливанию. Для устранения этого недостатка выбор вершин следует производить руководствуясь правилом “первая помечена – первая должна использоваться для продолжения помечивания вершин”. “Использование” здесь означает помечивание (когда это возможно) всех непомеченных вершин, смежных с рассматриваемой вершиной. В этом случае алгоритм закончит работу через конечное число шагов, причем число построенных цепей не превысит m(n+2)/2, гдеn– число вершин сети,m– число дуг.

Пример.Рассмотрим сетьN, представленную на рис. 25.3. На рисунке рядом с каждой дугойепоказаны значенияс(е) иf(e) соответственно.

В качестве начального потока принимаем f(e) = 0 для всех дуг сети.

Рисунок 25.3

Начиная с метки (–,) для источникаs, помечаем (шаг 3 алгоритма) вершиныа,b, с, dиtв указанном порядке. Получаем метки

а: (s⁺, 3),b: (а⁺, 3),с: (а⁺, 3),d: (c⁺,2),t: (b⁺,2).

Первая фаза завершается, так как вершина tпомечена.

Во второй фазе определяем дополняющую цепь Ри измененный потокf₁ (шаги 3 и 6 алгоритма).

Первый символ в метке tестьb⁺. Это означает, что в цепиРвершинаbпредшествует вершинеt.Первый символ в меткеbуказывает, что вершинаапредшествует вершинеb. Аналогично видим, чтоsпредшествуетав цепиР. Таким образом,Р:.

Все дуги в Рявляются прямыми, поэтому для получения измененного потокаf₁увеличиваем потоки во всех дугах путиРна_t = 2.

Поток f₁имеет величину, равную 2, и изображен на рис.25.4, а.

Рисунок 25.4

Стираем метки всех вершин. Имея поток f₁, получаем новое множество меток, показанных на рис. 25.4, а.Добавляющая цепь по отношению кf₁состоит из вершинs,с, d, tв указанном порядке. Все дуги в этой цепиРявляются прямыми,_t = 2. Поэтому потоки в этих дугах увеличиваются на 2.

Получающийся поток f₂ = 4 показан на рис. 25.4, б.

Новые метки, основанные на f₂ = 4, показаны на рис.25. 4, б.

Дополняющая цепь по отношению к f₂состоит из вершинs,с,b,а,d, t. Дуга, соединяющая вершиныаиb, является обратной дугой в этой цепи. Все другие дуги являются прямыми._t = 1. Увеличим потоки в прямых дугах на 1 и настолько же уменьшим поток в обратной дуге. Получающийся в результате потокf₃= 5 представлен на рис. 25.4, в.

Имея f₃, переходим к помечиванию вершин. Этот процесс завершается в состоянии, показанном на рис. 25.4, в, когда вершинаtеще не помечена. Таким образом, не существует дополняющей цепи по отношению к потокуf₃. Поэтомуf₃= 5 – максимальный поток.