22.3.3 Фундаментальные разрезы

Разрезом неорграфа G(V,E) по разбиению множества вершинVна два подмножестваV₁иV₂называется множество ребер, соединяющих вершины из подмножестваV₁с вершинами подмножестваV₂. В связном графе любой разрез не пуст.

Непустой разрез KнеорграфаGназывается простым или коциклом, если множество реберKне содержит разрезовGни по какому разбиению (любой разрез разбивает граф на две части – увеличивает число компонент связности).

В связном неорграфе остов Tимеет, по крайней мере, одно общее ребро с любым разрезом графа.

В связном неорграфе любой цикл имеет с любым разрезом, проходящим через ребра цикла, четное число ребер.

Пусть имеем связный неорграф Gс остовомT. И пустьb₁,b₂, …,b_i,…,b_n–1– ветви остоваT.

Удаляя произвольную ветвь b_iизT, получаем лес с двумя компонентами, т. е. каждое реброb_iесть разрезTпо некоторому разбиению вершинV₁,V₂.

В графе могут найтись еще какие–то ребра h_i1,h_i2,…,h_ij, которые соединяютV₁иV₂.

Множество ребер K_i= {b_i,h_i1, …,h_ij} образует разрезGотносительно ветвиb_i, который называют фундаментальным разрезом относительноb_iостоваT. Таким образом, фундаментальный разрез содержит точно одну ветвь остова графа.

Множество {K₁,K₂, …,K_n–1} всех фундаментальных разрезов графаGназывается фундаментальным множеством разрезов графаGотносительно остоваT.

Мощность этого множества равна *(G) =n–1. (В общем случаеn–, где число компонент связности графа.)

По аналогии с фундаментальными циклами, каждому фундаментальному разрезу можно поставить в соответствие вектор

(a_i1, a_i2, …, a_im),

где

Из этих векторов можно составить матрицу фундаментальных разрезов.

Поскольку каждый фундаментальный разрез содержит точно одну ветвь T, то матрицаKимеет вид

		hi,j– хорды			bi – ветви T
	K1	h1,1	.	h1,V*	1	0	0	.	0
K=	.	h2,1	.	h2,V*	0	1	0	.	0
	.	.	.	.	.	.	.	.	.
	KV*	hV*,1	.	hV*,V*	0	0	0	.	1

где v* это *(G) =n– 1.

Таким образом ,

где H– матрица хорд графа,E– единичная матрица порядка *(G).

Матрицы фундаментальных циклов Cи фундаментальных разрезовKвзаимосвязаны.

Если , то,

где – транспонированная матрицаB.

Следовательно, для анализа графа достаточно найти одну матрицу (CилиK), а другую можно определить транспонированием.

Пример. Для графа и его остова, показанных на рис. 22.4, матрица фундаментальных разрезов будет такой

.

Рисунок 22.4

20.3.4 Вопросы для контроля к п. 22.3

1. Что такое остов графа? Приведите алгоритм построения остова минимальной длины.

2. Что такое фундаментальный цикл? Сколько таких циклов в графе? Как называется их количество?

3. Что такое фундаментальный разрез? Сколько таких разрезов в графе? Как называется их количество?

4. Что такое ранг графа? А коранг? Как их определить?

5. Какая связь существует между матрицами фундаментальных циклов и фундаментальных разрезов в графе?