и функции

4 Лекция № 3. Соответствия и функции

Продолжительность:2 часа (90 мин.)

4.1 Ключевые вопросы

4 Лекция № 3. Соответствия и функции 1

4.1 Ключевые вопросы 1

4.2 Текст лекции 1

4.2.1 Соответствия и их свойства 1

4.2.2 Функция 7

4.2.3 Вопросы для контроля 10

4.2 Текст лекции

4.2.1 Соответствия и их свойства

Соответствие – способ задания взаимосвязей между элементами множества. Частными случаями соответствий являютсяфункции, отображения, преобразования, отношения.

Пусть имеются два множества Аи В.Элементы этих множеств могут сопоставляться друг другу, образуя пары (a,b). Если способ сопоставления определен, то говорят, что между множествамиAиB установлено соответствие. При этом не обязательно, чтобы в соответствии участвовали все элементы множествАи В.

Таким образом, чтобы задать соответствие надо задать

– множество A;

– множество B;

– множество , определяющее правило соответствия, т. е. перечисляющее все пары (a,b), для которых справедливо соответствие.

Записывается соответствие так

g= (A, B, G).

– Множество Aназывается областью отправления соответствия,

– множество B–областью прибытиясоответствия,

– G– называетсяграфикомсоответствия.

Обычно соответствие обозначается символом графика соответствия, в нашем случае обозначим соответствие G.

С соответствием связаны еще два понятия:

– область определения соответствияG – элементы множестваA, участвующие в соответствии, обозначается эта область какпр₁G = {а:(a, b)G}, и – область значений соответствияG – элементы множестваB, участвующие в соответствии, обозначается она какпр₂G = {b:{а, b)G} (рис. 4.1 и рис. 4.2 ).

Если (а, b)G, то говорят, что"b соответствуета при соответствииG". Геометрически это обозначается стрелками (рис. 4.2).

Пример 1. Пусть имеем множестваA = {1, 2},B= {3, 5}.

Элементы этих множеств образуют такие пары

AB= {(1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5)}.

Из приведенных пар можно составить несколько соответствий, например, такие: G₁= {(1, 3)}. Для этого соответствия Пр₁G₁= {1}; Пр₂G₁= {3}.

G₂= {(1, 3), (1, 5)}. Здесь Пр₁G₂= {1}; Пр₂G₂= {3, 5}.

Рисунок 4.1 – График соответствия G

Рисунок 4.2 – Геометрическое представление соответствияG

Свойства соответствий:

– соответствиевсюду(полностью)определенно, еслипр₁G=A.

Частично определенное соответствие – в противном случае.

– соответствие сюръективно, еслипр₂G = В.

Образомэлемента аА в множествеВ при соответствииG называется множество всехbВ, соответствующих элементуаА.

Прообразомэлемента b в множествеА при соответствииG называется множество всехаА, которым соответствуетbВ.

Образом множества называется объединение образов всех элементоваС.

Прообразом множества называется объединение прообразов всех элементовb D.

– соответствие называетсяоднозначнымилифункциональным, если образом любого элементаа из области определенияпр₁Gявляется единственный элементb из области значенийпр₂G.

– Взаимно однозначноесоответствие, при котором любой элемент множестваA, участвующий в соответствии, имеет единственный образ в множествеB и наоборот, любой элемент множестваB, участвующий в соответствии, имеет единственный прообраз в множествеA, называетсяинъективным.

– Соответствие, которое всюду определено, сюръективно и инъективно называется биекцией.

Если между множествами А иВ существует взаимно однозначное соответствие, то мощности этих множеств равны, т.е. |А| = |В|. В таком случае говорят, что множестваAиВ равномощны.

Множества, равномощные множеству натуральных чисел N, называютсясчетными. Множества, равномощные множеству вещественных чиселR, называютсяконтинуальными.

Пусть дано соответствие Тогда соответствиеG^–1называетсяобратным кG, еслиG^–1 таково, что(b, а) G^–1тогда и только тогда, когда (а, b) G.обратное соответствие обозначается

g^–1= (B,A, G^–1),

где G^–1(не всегда).

Геометрически представление обратного соответствия получается из обозначения прямого соответствия заменой направления стрелок. Отсюда следует, что обратное соответствие обратного соответствия будет прямым, т.е.

(g^–1)^–1=g.

Последовательное применение двух соответствий называется композициейсоответствий.

Композиция соответствий есть операция с тремя множествами A, B, C, на которых определены два соответствия

g= (A, B, G),,

p= (B, C,P),,

причем область значений первого соответствия совпадает с областью определения второго

Пр₂G = Пр₁P.

Первое соответствие определяет для любого некоторый (возможно не один) элемент. В соответствии с определением композиции для этогоbнадо найтипо второму правилу. В результате длянайдем.

Композицию соответствий gиpобозначаютg(p) илиgp, или простоgp.

График композиции соответствий обозначаютGP.

При этом приведенная выше композиция соответствий запишется так

g(p) = (A,C,GP),GP .

Операцию композиции можно распространить и на большее число (более двух) соответствий.

Композиция ассоциативна

h(gp) = (hg)p,

но не коммутативна

gp pg,

даже если рассматриваются соответствия элементов на одном множестве.

Пример 2. Англо–русский словарь устанавливает соответствие между множествами английских и русских слов. Каковы свойства этого соответствия?

Данное соответствие является:

– не всюду определенным (всегда можно найти английское слово, не содержащееся в словаре);

– не сюръективным (по отношению русских слов, имеющихся в словаре);

– не функциональным (одному английскому слову ставится в соответствие, как правило, несколько русских);

– не взаимно однозначным (в силу предыдущего).

Пример 3. ПустьG– множество всех пар действительных чисел (х, у), удовлетворяющих соотношению

(х–3)²+(у – 2)²1.

Графически такое соответствие Gпредставляет собой круг радиуса 1 с центром в точке (3, 2). Таким образом, кругGзадает соответствие между множествами действительных чиселR иR (осью абсцисс и осью ординат, рис. 4.3).

Рисунок 4.3 – Соответствие Gкпримеру 3

Определить, чему равны

а) образы и прообразы чисел 2, 3, 4;

б) образы и прообразы отрезков [2, 3], [2, 4].

Каковы свойства соответствия G?

а) Образом числа 2пр₁G(на оси абсцисс) при соответствииG(см. рис. 4.3) является единственное число 2пр₂G(на оси ординат). Образ числа 3 при соответствииG есть множество всех действительных чисел отрезка [1, 3], а образ числа 4 – число 2.

Прообразом числа 2пр₂G (на оси ординат) при соответствииG будет множество всех действительных чисел отрезка [2, 4]пр₁G(на оси абсцисс), прообразом числа 3 при соответствииG — число 3, а прообраза числа 4 при соответствииG не существует.

б) Образом множества чисел отрезка [2, 3] пр₁Gявляется объединение всех чисел отрезка [1, 3]пр₂G. Аналогично, образом отрезка [2, 4] пр₁Gбудет отрезок [1, 3]пр₂Gпри соответствииG.

Прообраз отрезка [2, 3]пр₂Gпри соответствииG – это отрезок [2, 4] пр₁G, а прообраз отрезка [2, 4]пр₂G– также [2, 4] пр₁G.

Если допустить, что соответствие G установлено на множестве действительных чиселR, т.е., то оно является:

– частично определенным, так как

– не сюръективным, поскольку

– не функциональным, ибо для любого числа отрезка [2, 4] = пр₁G(кроме чисел 2 и 4) отсутствует единственность образа;

– не взаимно однозначным, так как отсутствуют необходимые условия: Gне является всюду определенным наR, не сюръективно, не функционально, а также для любого числа отрезка [1, 3] =пр₂G(кроме чисел 1, 3) отсутствует единственность прообраза.

Если определить соответствие G[2, 4]х[1, 3], то, очевидно, оно будет всюду определенным и сюръективным, однако останется не функциональным и не взаимно однозначным.

Пример 4.ПустьG– множество точек прямой линии, удовлетворяющей соотношению

х – 2 = у прих, у 0 (рис. 4.4).

Рисунок 4.4 – СоответствиеGкпримеру 4

Каковы свойства соответствия G?

1. Если соответствие G задано на множестве действительных чисел, т.е.,то G:

– частично определено, так как

пр₁G = [2, ) R;

– не сюръективно, поскольку

пр₂G =R₊ R,

где R₊ = [0,) – множество всех положительных действительных чисел с нулем;

– функционально, ибо любому х из области определения соответствует единственный yиз области значений, т.е. для соответствияG имеет место единственность образа для любогох пр₁G;

– не взаимно однозначно, так как не выполняются условия – всюду определенности и сюръективности.

2. если соответствиеG задано на множествеR₊ с нулем, т.е., то соответствиеG:

– частично определено, так как пp₁G = [2,) ипр₁G R₊;

– сюръективно, поскольку пр₂G=R₊;

– функционально;

– не взаимно однозначно, так как не выполняется условие – всюду определенности.

3. При G [2,)хR₊ соответствиеG

– всюду определено;

– сюръективно;

– функционально;

– взаимно однозначно, так как наряду с выполнением перечисленных выше условий имеет место также единственность прообраза для любого упр₂G.

Пример 5. Пусть множества, гдеU = {а, b, с}, иВ₃ определены следующим образом:

– множество всех подмножеств (булеан) множестваU ={а, b, с);

В₃ – множество всех двоичных векторов длины 3, т.е.

B₃ = A x A x A,

где A = {0, 1}.

Показать, что между множествами иВ₃ имеет место взаимно однозначное соответствие.

= {, {а}, {b}, {с}, {а, b}, {а, с}, {b, с}, {а, b, с}};

В = {(000), (001), (010), (011), (100), (101), (110), (111)};

для упрощения обозначений запятые между компонентами двоичных векторов опущены.

Установим следующее соответствие G между множествами изи векторами изВ₃:

– если в множестве из присутствует элемента, то в соответствующем ему векторе изВ₃ первая компонента равна 1, а если отсутствует – то 0;

– если в множестве из присутствует элементb, то в соответствующем ему векторе изВ₃ вторая компонента равна 1, а если отсутствует – то 0;

– аналогичное соответствие установим между элементом с в множестве изи значением третьей компоненты вектора изВ₃.

Например, множеству {b} изсоответствует вектор (010) изВ₃, множеству {а, с} – вектор (101) и т.д.

Очевидно, что установленное таким образом соответствие G является взаимно однозначным, так как выполняются все условия для взаимно однозначного соответствия.

Пример 6. Каковы свойства соответствия между множествомNнатуральных чисел и множествомстепеней двойки

Соответствие G

– взаимно однозначно;

– всюду определено, так как пр₁G = N;

– сюръективно, поскольку пр₂G = ;

– функционально, так как любому nN соответствует единственный образ

– характеризуется единственностью прообраза, так как для любого существует единственноеnN.