2.2.2 Цели и задачи курса

Цели изучения дисциплины:

• Освоение понятий и определений, применяемых в дискретной математике, а также типовых задач и алгоритмов их решения.

• Формирование у студентов первичных знаний, умений и навыков, достаточных для дальнейшего продолжения образования и самообразования в области разработки и эксплуатации персональных компьютеров, информационных систем и сетей.

Предметы изучения:

• Базовые понятия и определения теории множеств, булевой алгебры и теории графов.

• Постановка типовых задач и освоение алгоритмов их решения.

• Взаимосвязь дискретной математики и других научных дисциплин и областей практической деятельности человека.

Объекты изучения:

• Объектами изучения дискретной математики являются модели, используемые в различных технических, информационных, социологических, экономических, биологических, химических и др. системах, в том числе, и в вычислительных системах, комплексах и сетях ЭВМ.

• Множества и их элементы, соответствия и отношения между элементами множеств.

• Логические функции, формы их задания, преобразования и реализации.

• Графы и решение задач на них.

2.2.3 Множества

Множество – основное понятие в теории множеств, которое вводится без определения. О множестве известно как минимум то, что оно состоит из элементов. Принадлежность элемента множеству оценивается по наличию у него признаков, характеризующих множество.

Множество – состоит из элементов. Принадлежность элемента амножествуМобозначается("апринадлежитМ"), не принадлежность –.

Множество Аназывается подмножеством множестваВ(обозначается), если всякий элемент изАявляется элементомВ(рис 2.1). Если множествоAявляется подмножеством множестваBи, тоАназывается строгим подмножеством (обозначается, читаетсяAвключено (содержится) вB).

Рисунок 2.1 – Множество Сс подмножествамиВиА

Содержательные примеры множеств и их возможные обозначения:

М₁– множество всех операций по сборке компьютера;

М₂– множество видов услуг, предоставляемых фирмой "Formoza";

N– множество натуральных чисел 1, 2, 3,...;

N₁– множество натуральных чисел, не превосходящих 100;

R– множество действительных чисел.

Из рис. 2.1 видно, что если и, то.такое свойство включения называется транзитивностью.

По поводу равенства множеств можно сказать:

Множества АиВравны, если их элементы совпадают (ОпределениеI), или множестваАиВравны, еслии(ОпределениеII).

Множество, состоящее из конечного числа элементов, называется конечным, в противном случае –бесконечным(например, множестваN,R – бесконечные множества).

Число элементов в конечном множестве Аназывается его мощностью и обозначается |А|.

Если , то |А| < |B|.

Множество мощности 0, т.е. не содержащее элементов, называется пустым(обозначается): || = 0. Принято считать, что пустое множество является подмножеством любого множества.

Множеством подмножеств некоторого произвольного множества U или его булеаном (обозначается (U)), называется множество, элементами которого являются все подмножества множестваU. Оно включает в качестве элементов также пустое множество и само множествоU. Мощность булеана равна

|(U)| = 2ⁿ, гдеn= |U|.

Таким образом, если множество U состоит изnэлементов, то его булеан состоит из 2ⁿ элементов.

В конечном множестве можно задать нижнюю и верхнюю границы, обозначаемые

inf A=mиsup A = M,

соответственно. Здесь A– множество, аmиMнекоторые элементы множества (не обязательно числа).

Если , то inf Ainf B, а sup Asup B.

Способы задания множеств:

– Перечислением, т.е. списком своих элементов. Списком можно задать лишь конечные множества. Обозначение списка – в фигурных скобках. Например, множествоАустройств домашнего компьютера, состоящего из процессорного блокаa, а также периферийных устройствВ(монитораb, клавиатурыси принтераd), может быть представлено списком:

А= {а,В} илиА= {а, b, с, d}.

Уточнения:

1) В списке, задающем множество, одинаковые элементы представляются одним элементом (поэтому в множествах нижняя и верхняя границы единственны).

2) Перестановка элементов в списке не изменяет множество.

3) Задание типа N = 1, 2, 3, ... – не список, но лишь допустимое условное обозначение.

– Порождающей процедурой, которая описывает способ получения элементов множества из уже полученных элементов либо других объектов. В таком случае элементами множества являются все объекты, которые могут быть построены с помощью такой процедуры. Например, множество всех целых чисел, являющихся степенями двойки,, гдеN – множество натуральных чисел, (допустимое обозначение= 1, 2, 4, 8, 16,...) может быть представлено порождающей процедурой, заданной двумя правилами, называемымирекурсивными:

а) ; б) если, то.

– Описанием характеристических свойств, которыми должны обладать элементы множества. Обозначается:

М = {х|Р(х)} или М = {х:Р(х)}.

Читается так "Множество Мсостоит из элементовхтаких, чтохобладает свойствомР". Например, множествоBпериферийных устройств персонального компьютера может быть определено:

B= {х:х– периферийное устройство персонального компьютера}.

Надежным способом точно описать свойство элементов данного множества является задание распознающейпроцедуры. Она должна устанавливать для любого объектаx, обладает ли он данным свойствомР(и, следовательно, принадлежит множеству) или нет. Например, распознающей процедурой для множестваАвсех студентов МГУПИ, имеющих студенческие билеты университета, является проверка его наличия. Тогда множествоАможет быть представлено более точно: "А– множество всех студентов, имеющих студенческие билеты МГУПИ".

Другой пример: для описания характеристического свойства элементов множества всех целых чисел, являющихся степенями двойки ("быть степенью двойки"), разрешающей процедурой может служить любой метод разложения целых чисел на простые множители.

Тогда , еслиа = 1 или еслиа = 2х2х ... х2 = 2ⁿ,.

Пример 1. Задать различными способами множествоN всех натуральных чисел: 1, 2, 3,...

Списком множество Nзадать нельзя ввиду его бесконечности.

Порождающая процедура содержит два правила:

а) ; б) если, то.

Описание характеристического свойства элементов множества N:

N ={x:х – целое положительное число}.

Пример 2. Задать различными способами множествоМ всех четных чисел 2, 4, 6,..., не превышающих 100.

1) ={2, 4, 6, ...,100}.

2) а) ;

б) если , то;

в) п 98.

3) = {n:и}.

Пример 3. ПустьU={a, b, с}. Определить в явном виде (перечислением элементов)булеан (U) – множество всех подмножеств, состоящих из элементов множестваU. Какова мощность множества(U)?

(U)={,{a},{b}, {с}, {а, b}, {а, с}, {b, с}, {а, b, с}}.

Как видим, мощность |(U)| = 8 = 2³.

Обратите внимание на . Пустое множествоявляется элементом любого множества.

Пример 4. Какие из приведенных определений множествА, В, С, D являются корректными:

а) А = {1, 2, 3}, б)В = {5, 6, 6, 7}_,

в) С= {х: х А}, г)D ={A, С}?

Принадлежит ли число 1 множеству D?

а) Определение множества А = {1, 2, 3} списком элементов корректно.

б) Задание множества Вне корректно, так как число 6 указано дважды. При перечислении элементов множества не следует указывать один и тот же элемент несколько раз. Правильное определениеВ = {5, 6, 7}.

в) Определение множества С = {х:хА} заданием характеристического свойства его элементов "принадлежать множествуА" корректно,А = {1, 2, 3}.

г) Определение списком множества D ={А, С} корректно: элементами множестваD являются множестваА и С.

Однако 1 не принадлежит D, так как элемент 1 не перечислен в списке.