2 Лекция № 1. Введение. Множества, операции над множествами

Продолжительность:2 часа (90 мин.)

2.1 Ключевые вопросы

• Введение

• Цели и задачи курса

2 Лекция № 1. Введение. Множества, операции над множествами 1

2.2 Текст лекции 1

2.2.1 Введение 1

2.2.2 Цели и задачи курса 2

2.2.3 Множества 3

2.2.4 Операции над множествами 6

2.2.5 Диаграммы Эйлера–Венна 9

2.2.6 Вопросы для контроля 10

2.2 Текст лекции

2.2.1 Введение

Дискретная математика изучает математические модели объектов, процессов и зависимостей, с которыми имеют дело в технике, биологии, социологии и других областях деятельности человека. Их особенность – дискретный, как правило, конечный характер. Это ограничивает возможность использования моделей и методов классической непрерывной математики. Поэтому дискретная математика – самостоятельное направление современной математики.

Дискретная и непрерывная математика взаимно дополняют друг друга. Понятия и методы одной часто используются в другой. Например, системы линейных уравнений как модели непрерывной математики характеризуются конечным множеством линейно независимых уравнений и при определенных условиях конечным множеством решений.

Один и тот же объект может рассматриваться с двух точек зрения и в зависимости от этого выбирается непрерывная или дискретная модель. Так электрическая схема как дискретный объект может быть представлена графом – моделью ее структуры, а как непрерывный объект – вектором значений параметров элементов, соответствующих ребрам графа. На основе этих моделей получают систему линейных или нелинейных уравнений для расчетов токов и напряжений в схеме.

Классическая непрерывная математика развивалась в условиях, когда возникли и требовали решения задачи механики и физики. Дискретная математика сложилась и интенсивно развивается в связи с необходимостью решения задач управления и создания сложных технических систем. Многие задачи, возникшие в прошлом как головоломки, сегодня нашли интерпретацию как задачи управления.

Особенность большинства задач дискретной математики – возможность их решения полным перебором допустимых решений в силу конечного множества их вариантов. Однако с ростом размерности задачи простой перебор достаточно быстро становится бессильным. Для многих важных задач до настоящего времени не найдено эффективных алгоритмов решения. Поэтому ищут «хитрые» алгоритмы для упрощения перебора и определения пусть не точного, а хотя бы приближенного, но хорошего решения.

Пример 1.При исследовании логических схем на риски сбоя (появления ложных сигналов при смене входных наборов) необходимо проверить переходы от любого входного набора к любому другому, а входных наборов 2ⁿ, гдеn– число входов схемы. Таким образом, от каждого из 2ⁿнаборов надо перейти к 2ⁿ-1 наборам, т.е. всего надо осуществить 2ⁿ(2ⁿ-1)2²ⁿпереходов.

Если n= 64, а исследовать один переход можно за 1 мкс, то время анализа будетлет!

В дискретную математику сегодня входят такие разделы:

– теория множеств,

– булева алгебра

– теория графов,

– машинная арифметика,

– математическая логика,

– теория алгоритмов,

– теория рекурсивных функций,

– теория конечных автоматов,

– кодирование,

– алгебраические системы,

– теория формальных грамматик,

– числовые системы,

– комбинаторика.

Однако, в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по направлению подготовки дипломированного специалиста 230100 — «Информатика и вычислительная техника», специальность 230101 (220100) — «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети» в курсе дискретной математики мы рассмотрим только три первых раздела:теорию множеств, булеву алгебру и теорию графов. Шесть следующих разделов изучаются в специальных дисциплинах (информатика,математическая логика и теория алгоритмов, Рекурсивная реализация алгоритмов,теория автоматов,методы и средства защиты информации) и ряде смежных дисциплин, остальные разделы рассматриваются в дисциплине Алгебра и геометрия.