6.2.3 Свойства операций над отношениями

Операции объединения, пересечения, дополнения, обычной и симметрической разности отношений возникли из теоретико–множественных операций, поэтому все свойства у них такие же.

Для обратного отношения справедливо

,

.

Если R₁R₂, то.

(R₁○R₂)^–1=○– обратите внимание на индексы.

Для составного отношения (композиции) справедливо также

R○R^–1 иR^–1○R .

Операция композиции R₁○R₂○R₃ассоциативна, поэтому можно обходиться без скобок и можно писать

R○R = R², R○R○R = R³ и т.д.

Но эта операция в общем случае не коммутативна

R₁○R₂R₂○R₁.

Так для отношений, заданных матрицами АиВ, получаем

В частном случае может быть R₁○R₂=R₂○R₁. Тогда говорят, чтоR₁иR₂коммутируют.

Для диагонального (E) и нулевого () отношений справедливо

R○E =E○R=R– здесьЕ ={(а, b): а = b} – играет роль 1,

R○= ○R= – здесь играет роль 0.

Если , тои, гдеА,В,С– отношения.

Дистрибутивные законы для композиции отношений

– здесь равенство, как при обычном умножении,

– здесь не равенство, а включение!

Доказывается последнее утверждение следующим образом.

Пусть выполнено соотношение . Это означает, что существует такоеz, что одновременно выполнены соотношения. Значит, одновременно выполнены пары соотношений:. Или, т.е., следовательно, левая часть соотношения равна правой части. Однако заменитьвсе равно нельзя.

Рассмотрим конкретные отношения А,В,Сна множестве из четырех элементовМ= {x₁,x₂,x₃,x₄}, так что выполнены только соотношения, показанные на рис. 6.5,.

Рисунок 6.5 – Граф отношений А,В,С

Ясно, что .

Следовательно, . (Это левая часть соотношения.)

С другой стороны и потому, т.е.. (Это правая часть соотношения.)

Таким образом, здесь имеем строгое включение , так какпринадлежит любому множеству.

Для транзитивного замыкания справедливо, если , тои

(А^○)^○=А^○.

Для редукции справедливо

и.

Если отношение R таково, что при любыхn2, то

(R^○)^r = R.

Для отношения строгого порядка R, заданного на конечном множестве, транзитивное замыкание редукции совпадает с исходным отношением

(R^r)^○ = R.

Для бесконечных множеств это соотношение не выполняется, например, если Rобычный порядок “меньше” на бесконечном множестве действительных чисел, тои, следовательно,

.

Если отношение R₁таково, что, то.

Пример 1. Пусть на множествеМ= {2, 4, 6} определено отношениеR — "быть меньше". Задать характеристическим свойством и списком отношениеR, обратное отношениеR^–1 и дополнение.

Сравнить отношения. Определить их свойства.

R = {(а, b):а<b} – "быть меньше".

R ={(2, 4), (2, 6), (4, 6)}.

R^–1 = {(а, b): (b, a) R} = {(a, b): a>b} – "быть больше".

R^–1 = {(4, 2), (6, 2), (6, 4)}.

= ()\R= {(а,b): (а,b) R} = {(а,b): аb}– "быть не меньше".

= {(2, 2), (4, 2), (4, 4), (6, 2), (6, 4), (6, 6)}.

Между R, R^–1 и имеют место соотношения:

,

где Е = {(a, b): a = b} – тождественное отношение;

гдеU=;

Диаграмма Эйлера–Венна представлена на рис. 6.6, где залитое серой краской множество соответствует дополнению .

Рисунок 6.6 – Диаграмма отношенийR,R^–1,Е иПримера 2

Отношения R иR^–1 – антирефлексивны, асимметричны, транзитивны, т.е. являются отношениями строгого порядка. Эти отношения задают полный порядок на множествеМ.

Отношение — рефлексивно, антисимметрично, транзитивно, т.е. является отношением нестрогого порядка.

Оно также задает полный порядок на множестве М.

Пример 2. Пусть на множестве чиселМ= {1, 2, 3, 4, 5} определено отношениеR – "быть меньше". Задать матрицами отношенияR,, R^–1, R°.

Отношение R – "быть меньше <": антирефлексивно, асимметрично, транзитивно. Воспользуемся результатами выполнения унарных операций над указанным отношением, полученными впримере 1:

R= {(а, b): а< b} – "быть меньше";

= {(а, b): а b}– "быть не меньше";

={(а, b): а>b}–"быть больше".

Если R означает – "быть меньше, по крайней мере, на 1", то составное отношение:

R○R = R² = {{a, b): (a– 1) <b} – "быть меньше по крайней мере на 2".

Наконец, в силу транзитивности отношения R:

R° = R= {(a, b): a < b} – "быть меньше".

Матрицы отношений R, ,,R²,R° приведены на рис. 6.7.