7.2.3 Отношения порядка

отношением строго порядка(строгим порядком) называется отношение, если оно

– антирефлексивно,

– транзитивно.

Это отношение обладает и третьим свойством – асимметричностью, но это свойство следует из первых двух.

Напомним, что для асимметричного отношения справедливо

.

Теперь предположим, что , т.е. существует пара таких элементов из множестваМ, что одновременно. Иначе. По свойству транзитивности следует, а это противоречит антирефлексивности. Следовательно.

Вот примеры отношений строгого порядка: "быть моложе", "быть прямым потомком" на множестве людей, “быть больше”, “быть меньше” на множестве натуральных чисел.

Если – отношение строгого порядка, то его граф не содержит контуров (контур в ориентированном графе – это связная последовательность дуг одного направления, начинающаяся и заканчивающаяся в одной и той же вершине), в том числе и петель при вершинах.

Множество Мс заданным на нем отношением строгого порядкаR, т.е. пару (М,R), называютупорядоченным множеством.

Отношение строгого порядка R называетсясовершенным порядком, если для всякой пары не совпадающих элементовaиbизМверно либо, либо.

Отношением нестрогого порядка (или нестрогим порядком) называют бинарное отношение на множестве, если оно может быть представлено в виде

,

где – строгий порядок,Е – тождественное отношение.

Из этого определения следует, что отношение нестрогого порядка рефлексивно. От строгого порядка это отношение унаследовало транзитивность, но в отличие от строгого порядка оно не асимметрично, а только антисимметрично, поскольку для него справедливо .

Итак, любое отношение нестрогого порядка

– рефлексивно,

– антисимметрично,

– транзитивно.

Отношение нестрогого порядка R называетсясовершенным, если для любой пары элементовaиbизМверно либо, либо. Одновременное выполнение этих соотношений означает, чтоa =b.

Отношения "быть не старше" на множестве людей, "быть не больше" на множестве натуральных чисел – нестрогий порядок.

Отношение R на множестве М называетсяотношением квазипорядка(квазипорядком), если оно рефлексивно и транзитивно.

Примером квазипорядка могут служить линии на географической карте, соединяющие точки с одинаковой высотой над уровнем моря. Здесь множество М– это множество точек на карте. Отношение квазипорядкаRзадается условием:, если высотаf(x) точкиxнад уровнем моря не превосходит высотуf(y) точкиy, т.е..

Из этого следует, что отношение квазипорядка R

– рефлексивно, т.е. , так как можно записать;

– транзитивно, так как если и, тои, а значит и, т.е.;

– не антисимметрично, так как при может быть.

Очевидно также, что приведенное отношение является совершенным квазипорядком, так как для любой парыxиyвыполнено либо, либо, т.е. либо, либо.

Таким образом, свойства этого отношения отличаются от свойств как строгого, так и нестрогого порядков.

Элементы сравнимы по отношению порядка R наМ, если выполняетсяaRb илиbRа.

Множество М, на котором задано отношение порядка, может быть:

а) полностью упорядоченным множеством, если любые два элемента изМ сравнимы по отношению порядка. В таком случае говорят, что отношениеR задаетполный порядокна множествеМ. Например, отношение "быть не старше" задает полный порядок на множестве людей;

б) частично упорядоченным множеством – в противном случае. При этом говорят, что отношениеR задает на множествеМ частичный порядок. Например, отношение "быть начальником" задает на множестве сотрудников организации частичный порядок, так как, например, для пары сотрудников одного отдела данное отношение может не выполняться: они не сравнимы по данному отношению.

Рассмотрим операции над отношениями порядка.

Анализируя табл. 7.1, можно утверждать:

еслиRстрогий порядок (нестрогий порядок, квазипорядок), то отношениеR^–1является строгим порядком (соответственно нестрогим порядком, квазипорядком), так как при этой операции сохраняются все свойства, присущие отношению.

Аналогичное заключение можно сделать и относительно совершенных порядков.

Если R₁ и R₂ строгие порядки (нестрогие порядки, квазипорядки), то пересечениеявляется строгим порядком (соответственно нестрогим порядком, квазипорядком). При этом свойство “быть совершенным порядком” может не сохраняться. Например, пересечение совершенных порядковR и R^-1 дает такие результатыили, которые не являются совершенными порядками.

Интересный результат получается для квазипорядка R

– есть эквивалентность ().

еслиRстрогий порядок (нестрогий порядок, квазипорядок), то транзитивное замыканиеR^○является строгим порядком (соответственно нестрогим порядком, квазипорядком).

объединение порядков не всегда является порядком, например, объединение совершенных нестрогих порядков(полное отношение) не является порядком.

Если R₁ и R₂ строгие порядки, тоявляется строгим порядком только тогда, когда

.

Для нестрогих порядков это условие выглядит иначе.

Если R₁ и R₂ нестрогие порядки, тоявляется нестрогим порядком, когда

и.

Композиция порядков также не всегда является порядком. Это видно из того, что для совершенного нестрогого порядка Rкомпозиция

есть полное отношение.

Простого необходимого и достаточного условия, при выполнении которого композиция порядков была бы порядком, на сегодняшний день нет.

Достаточным условием является, например, такое:

Если R₁ и R₂ строгие порядки, тоявляется строгим порядком, когда

и.

Пример 1. Пусть на множествеМ= {2, 4, 6} определено отношениеR — "быть меньше". Задать характеристическим свойством и списком отношениеR, обратное отношениеR^–1 и дополнение.

Сравнить отношения. Определить их свойства.

R = {(а, b):а<b} – "быть меньше".

R ={(2, 4), (2, 6), (4, 6)}.

R^–1 = {(а, b): (b, a) R} = {(a, b): a>b} – "быть больше".

R^–1 = {(4, 2), (6, 2), (6, 4)}.

= ()\R= {(а,b): (а,b) R} = {(а,b): аb}– "быть не меньше".

= {(2, 2), (4, 2), (4, 4), (6, 2), (6, 4), (6, 6)}.

Между R, R^–1 и имеют место соотношения:

,

где Е = {(a, b): a = b} – тождественное отношение;

гдеU=;

Диаграмма Эйлера–Венна представлена на рис. 7.8, где залитое серой краской множество соответствует дополнению .

Рисунок 7.8 – Диаграмма отношенийR,R^–1,Е иПримера 2

Отношения R иR^–1 – антирефлексивны, асимметричны, транзитивны, т.е. являются отношениями строгого порядка. Эти отношения задают полный порядок на множествеМ.

Отношение — рефлексивно, антисимметрично, транзитивно, т.е. является отношением нестрогого порядка.

Оно также задает полный порядок на множестве М.

Пример 2. Пусть на множестве чиселМ= {1, 2, 3, 4, 5} определено отношениеR – "быть меньше". Задать матрицами отношенияR,, R^–1, R°.

Отношение R – "быть меньше <": антирефлексивно, асимметрично, транзитивно. Воспользуемся результатами выполнения унарных операций над указанным отношением, полученными впримере 1:

R= {(а, b): а< b} – "быть меньше";

= {(а, b): а b}– "быть не меньше";

={(а, b): а>b}–"быть больше".

Если R означает – "быть меньше, по крайней мере, на 1", то составное отношение:

R○R = R² = {{a, b): (a– 1) <b} – "быть меньше по крайней мере на 2".

Наконец, в силу транзитивности отношения R:

R° = R= {(a, b): a < b} – "быть меньше".

Матрицы отношений R, ,,R²,R° приведены на рис. 7.9.

R	1	2	3	4	5					1	2	3	4	5					1	2	3	4	5
1	0	1	1	1	1				1	1	0	0	0	0				1	0	0	0	0	0
2	0	0	1	1	1				2	1	1	0	0	0				2	1	0	0	0	0
3	0	0	0	1	1				3	1	1	1	0	0				3	1	1	0	0	0
4	0	0	0	0	1				4	1	1	1	1	0				4	1	1	1	0	0
5	0	0	0	0	0				5	1	1	1	1	1				5	1	1	1	1	0
a)								б)									в)
R2	1	2	3	4	5					1	2	3	4	5
1	0	0	1	1	1				1	0	1	1	1	1
2	0	0	0	1	1				2	0	0	1	1	1
3	0	0	0	0	1				3	0	0	0	1	1
4	0	0	0	0	0				4	0	0	0	0	1
5	0	0	0	0	0				5	0	0	0	0	0
г)								д)

Рисунок 7.9 – Матрицы отношений R, ,,R²,R° Примера 2