7.2.2 Отношения эквивалентности

Отношением эквивалентности (или простоэквивалентностью) называют бинарное отношение на множестве, если оно

– рефлексивно,

– симметрично,

– транзитивно.

Например, отношение "жить в одном городе" на множестве людей – эквивалентность.

Отношение эквивалентности обозначается илиa~b.

Для отдельных частных случаев используют такие знаки эквивалентности

= – равенство,

|| – параллельность,

– логическая эквивалентность.

Отношение эквивалентности имеет важную особенность: эквивалентность R разбивает множествоМ, на котором оно задано, на непересекающиеся подмножестваМ_iтак, что элементы одного и того же подмножества находятся в отношенииR, а между элементами из разных подмножеств отношениеR отсутствует. В таком случае говорят, что отношениеR задает разбиение на множествеМ, илисистему классов эквивалентности по отношениюR. Мощность этой системы называетсяиндексом разбиения (обозначим егоI). В то же время любое разбиение множестваМна классы определяет некоторое отношение эквивалентности, а именно отношение "входить в один и тот же класс данного разбиения".

Для классов эквивалентности справедливо

1) ;

2) ;

3) ;

4) Если для всех x

Пример 1.Пусть задано множествоМ= {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Разобьем это множество на два подмножества – четных –М₀= {0, 2, 4} (0 – четное число) и нечетных чисел –М₁= {1, 3, 5}, которые образуют два класса. Такое разбиение соответствует отношению эквивалентности, заданному соотношением

, читается:n сравнимо сmпо модулю 2.

Здесь признак разбиения чисел на классы – остаток от деления числа на 2: у четных чисел остаток от деления на 2 равен 0, а у нечетных чисел 1.

Матрица для этого отношения имеет вид, показанный на рис. 7.4,а.

Эта матрица вроде бы не представляет ничего интересного. Если же сгруппировать нечетные и четные числа, то получается матрица, состоящая из двух квадратных подматриц, симметричных относительно главной диагонали (рис. 7.4,б). Такая матрица – это признак отношения эквивалентности.

	0	1	2	3	4	5			1	3	5	0	2	4
0	1	0	1	0	1	0		1	1	1	1	0	0	0
1	0	1	0	1	0	1		3	1	1	1	0	0	0
2	1	0	1	0	1	0		5	1	1	1	0	0	0
3	0	1	0	1	0	1		0	0	0	0	1	1	1
4	1	0	1	0	1	0		2	0	0	0	1	1	1
5	0	1	0	1	0	1		4	0	0	0	1	1	1
			а)								б)

Рисунок 7.4 – Матрица отношения эквивалентности

на множестве М = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

Граф отношения эквивалентности представляется Iполными графами, гдеI – индекс разбиения (число классов). Число вершин в графе равно |M| – мощности множестваМ, а число ребер (обоюдоострых стрелок), не считая петель при вершинах, равно

,

где n_i – число элементов в классе i.

Граф для отношения примера показан на рис. 7.5.

Рисунок 7.5 – Граф отношения эквивалентности

Пример 2. Проиллюстрировать диаграммами Эйлера–Венна следующие разбиения множестваU на классы:

а) {А, };

б)

в)

Указанные разбиения изображены на рис. 7.6.

Рисунок 7.6 – Диаграммы разбиения множестваUна классы

Рассмотрим, какие операции над отношениями эквивалентности и при каких условиях дают в результате эквивалентность.

Напомним, что отношение эквивалентности обладает свойствами

– рефлексивностью,

– симметричностью,

– транзитивностью.

Для симметричного отношения R^–1=R. Значит, отношение, обратное к отношению эквивалентности, является эквивалентностью.

Аналогичное заключение можно сделать и относительно транзитивного замыкания, так как для транзитивного отношения транзитивное замыкание совпадает с ним самим R^○=R.

Если отношения R₁иR₂– эквивалентности, то их пересечениетакже эквивалентность (так как сохраняются все свойства операндов см. табл. 7.1).

Результат объединения эквивалентностей не всегда эквивалентность. пример этого показан на рис. 7.7, где отношениеR₁= {(1, 2), (3, 4)} и отношениеR₂= {(1, 4), (2, 3)} – отношения эквивалентности, аобразует неполный связный граф – цикл, не являющийся эквивалентностью.

Рисунок 7.7 – Графы отношений эквивалентности R₁иR₂

и результат их объединения

А в каких случаях результат будет эквивалентностью?

Пусть , тогда в соответствии со свойствами операций над множествами, и, следовательно,– эквивалентность.

Аналогичный результат получаем и при .

В общем случае, для того чтобы объединение эквивалентностей было эквивалентностью необходимо и достаточно, чтобы

.

Чтобы композиция отношений эквивалентности была эквивалентностью, необходимо и достаточно, чтобы эти отношения коммутировали, т.е.

.