12

7 Лекция № 6. Свойства бинарных отношений

Продолжительность:2 часа (90 мин.)

7.1 Ключевые вопросы

7 Лекция № 6. Свойства бинарных отношений 1

7.1 Ключевые вопросы 1

7.2 Текст лекции 1

7.2.1 Свойства бинарных отношений 1

7.2.2 Отношения эквивалентности 5

7.2.3 Отношения порядка 8

7.2.4 Вопросы для контроля 12

7.2 Текст лекции

7.2.1 Свойства бинарных отношений

Отношения делятся на различные виды в зависимости от того, какими свойствами они обладают.

Пусть R – отношение на множествеМ,. Тогда:

– Отношение R рефлексивно, если, т.е. имеет местоaRа для любого(например, отношение "жить в одном городе" – рефлексивно).

Рефлексивные отношения представляются матрицей, у которой на главной диагонали всегда стоят единицы. У графа, представляющего рефлексивное отношение, все вершины имеют петли.

– Отношение R антирефлексивно, если, т.е. если ни для какогоне выполняетсяaRа (например, отношение "быть сыном" – антирефлексивно).

В матрице такого отношения на главной диагонали стоят нули, а в графе ни одна вершина не имеет петель.

– Отношение R симметрично, если, т.е. если выполненоaRb, то выполнено иbRa (например, отношение "учиться в одной группе" – симметрично).

В матрице этого отношения элементы, симметрично расположенные относительно главной диагонали, равны друг другу, т.е. . В графе симметричного отношения для каждой дуги, идущей из вершиныiк вершинеj, имеется обратная дуга. Поэтому в таком графе можно не обозначать направление дуг и представлять симметричное отношениенеориентированным графом.

– Отношение R асимметрично, если. Это означает, что из двух соотношенийaRb иbRадля различных элементов по крайней мере одно не выполнено (например, отношение "быть сыном" – асимметрично).

Для элементов матрицы такого отношения выполняется , а в графе нет дуг разных направлений, соединяющих две вершины.

Если отношение асимметрично, то оно и антирефлексивно, а это значит, что диагональные элементы соответствующей матрицы равны 0 и в графе нет петель.

– Отношение R антисимметрично, если, а это означает, что выполнениеaRb иbRа возможно только приа = b (пример: отношение равенства, параллельности).

Для элементов матрицы такого отношения справедливо

В графе этого отношения могут быть петли, но встречных дуг нет ни у одной дуги.

– Отношение R транзитивно, если, а это значит, выполнениеaRb и bRc влечетaRc (например, отношения "быть больше", "быть моложе" – транзитивны).

В соответствии с определением квадрат матрицы такого отношения не должен содержать “лишних” 1, т.е. таких, которых не было в матрице отношения.

В графе этого отношения, если любые две вершины соединены путем длиной 2, то они должны быть также соединены дугой, направленной из начала пути к его концу.

Если отношение Rтранзитивно, то его транзитивное замыкание равно ему самому:R^○ = R. Поэтому можно утверждать, если R = R^○, то отношениеRтранзитивно.

– отношениеR антитранзитивно, если при любыхn2.

Это означает, что наличие непосредственной связи между элементами aиbисключает обходные пути.

Если R – строгий порядок (о порядках см. п. 7.2.3), то редукция этого отношенияR^r антитранзитивна (пример см. на рис. 8.15).

Любое антитранзитивное отношение асимметрично и, следовательно, антирефлексивно. В графе такого отношения нет контуров, в том числе нет петель, и нет параллельных путей.

Для отношения R(рис. 7.1), граф которого контур, получаем

,,,

и можно вроде бы считать его антитранзитивным, но , поэтому это отношение не антитранзитивно.

В общем случае для отношений Rв виде контура

Rⁿ⁺¹ = R, гдеn– число вершин графа.

Рисунок 7.1 – Граф не антитранзитивного отношения

Определенный интерес представляет вопрос о зависимости свойства результата операции от свойств отношений, участвующих в операции.

Ответ на этот вопрос дан в таблице 7.1. В двухместных операциях оба операнда (если не оговорено особо) должны обладать соответствующим свойством.

Таблица 7.1

Свойство	Операции	Условие
Рефлексивность
Антирефлексивность
Симметричность		=
Асимметричность		При любом R2
Антисимметричность
Транзитивность

Пример 1. Какими признаками характеризуется матрица отношенияR, если оно обладает одним из свойств: рефлексивностью, антирефлексивностью, симметричностью, асимметричностью, транзитивностью.

Пусть Rзадано наМ, .

1. Отношение R рефлексивно, если для любого имеет местоaRa, т.е. оно выполняется для всех пар (а, а),. В матрице этим парам соответствуют элементыс_ii. Такие элементы составляют главную диагональ матрицы. Следовательно, главная диагональ матрицы рефлексивного отношения содержит только единицы.

2. Отношение R антирефлексивно, если ни для какогоне выполняетсяaRа. Из этого следует, что главная диагональ матрицы антирефлексивного отношения должна содержать только нули.

3. Отношение R симметрично, если для парыизаRb следуетbRa, т.е. для любой пары отношениеR выполняется в обе стороны либо не выполняется вообще. Таким образом, если в матрице единица стоит на пересеченииi–ой строки иj–ого столбца, т.е.c_ij = 1, то она должна стоять и на пересеченииj–ой строки иi–ого столбца, т.е.с_ji= 1, и наоборот, еслиc_ji = 1, тоc_ij = 1. Таким образом, в матрице симметричного отношенияc_ji = c_ij, т.е. матрица симметрична относительно главной диагонали.

4. Отношение R асимметрично, если изaRb и bRа выполняется только одно. Это означает, что в соответствующей матрице ни для каких не выполняетсяc_ji = c_ij = 1. Таким образом, в матрице асимметричного отношения отсутствует симметрия относительно главной диагонали.

5. Отношение R транзитивно, если для любыха, b, с изaRb иbRс следуетaRc. В матрице такого отношения должно выполняться следующее условие.

если вi–ой строке стоит единица, например вj–ой координате (столбце) строки, т.е.с_ij = 1, то всем единицам вj–й строке (пусть этим единицам соответствуютk–е координаты такие, чтос_jk= 1) должны соответствовать единицы вi–й строке в тех жеk–х координатах, т.е.с_ikj = 1 (и, может быть, еще и в других координатах).

Это условие иллюстрируется на рис. 7.2, где кружком выделена единица c_ij = 1, для которой производится проверка условия, а стрелками показана последовательность проверки данного условия.

Рисунок 7.2 – Проверка транзитивности отношенияR

В матрице транзитивного отношения это условие должно выполняться для любых таких, чтос_ij, = 1. И наоборот, если в матрицеR имеется хотя бы одна единицас_ij = 1, для которой данное условие не выполняется, тоR не транзитивно.

Пример 2.Пусть бинарное отношениеRнаМзадано в виде графа, состоящего из вершин и дуг так, что вершинам взаимно однозначно соответствуют элементы множестваМ, а дугам, соединяющим паруаиbв направлении отакb, — наличие отношенияaRb. Определить особенности графа в зависимости от характера свойств отношенияR.

1. Отношение рефлексивно, еслиaRa для любых. Соответствующий граф рефлексивного отношения должен содержать петли у всех вершин (т.е. дуги, начинающиеся и заканчивающиеся в одной вершине рис. 7.3,а).

2. Отношение R антирефлексивно, если ни для какихне выполняетсяaRa. Граф антирефлексивного отношения не должен содержать ни одной петли (рис. 7.3,б,в,г).

3. Отношение R симметрично, если изaRb следуетbRа. В графе симметричного отношения для каждой дуги, соединяющей две вершины, существует также дуга, соединяющая эти вершины в обратном направлении (рис. 7.3,в).

4. Отношение R асимметрично, если из aRb и bRa выполняется только одно. В графе асимметричного отношения не существует двух различных вершин, связанных парой (разнонаправленных) дуг, и нет петель (рис. 7.3,б,г).

5. Отношение R транзитивно, если изaRb и bRc следуетaRc. В графе транзитивного отношения для любых двух дуг таких, что одна направлена ота кb, а другая – отb кс, существует дуга, соединяющаяаисв направлении отакс (рис. 7.3,г).

Рисунок 7.3 – Графы отношений, обладающих свойствами

а) рефлексивности, б) антирефлексивности и асимметричности,

в) антирефлексивности и симметричности,

г) асимметричности и транзитивности