1.3 Нелинейные преобразования сигналов

1.3.1 Нелинейный элемент и воздействие на него одного сигнала

Нелинейным элементом называют элемент, параметры которого зависят от протекающего через него тока или от приложенного к нему напряжения. Типичными нелинейными элементами являются диод и транзистор. Их параметры существенно изменяются при воздействии рабочих токов и напряжений.

Ранее рассматривались линейные элементы, параметры которых не зависят от протекающего тока и приложенного напряжения. Например, в рабочем диапазоне напряжений и токов такие радиоэлементы, как резисторы и конденсаторы, считаются линейными элементами. На рис. 1 приведены вольт-амперные характеристики

Рис.1

(ВАХ) нелинейного (1) и линейного (2) резисторов. Только при воздействии малых напряжений нелинейные элементы можно приближенно заменять линейными элементами. Например, характеристики диодов и транзисторов линеаризуются, если воздействует напряжение ΔU<0,1В.

Отметим, что кроме линейных и нелинейных элементов используются параметрические элементы, параметры которых зависят от времени. Некоторые свойства параметрических элементов близки к свойствам нелинейных элементов, так как на практике изменений параметров добиваются подачей дополнительных сигналов на параметрический элемент и параметры параметрических элементов в итоге оказываются зависимыми от напряжений или токов в цепи.

Если в цепи, кроме линейных элементов, содержатся нелинейные резисторы и (или) нелинейные конденсаторы и (или) нелинейные катушки, то такая цепь называется нелинейной. Процессы в такой цепи в общем случае описываются нелинейным дифференциальным уравнением. Общих аналитических методов решения этих уравнений не существует. Как правило, эти уравнения решают на ЭВМ с помощью численных методов. Например, с помощью численных методов анализируются нелинейные цепи в программах схемотехнического моделирования.

Основные явления, свойственные любой нелинейной цепи, не обязательно изучать, сопоставляя и решая сложные нелинейные дифференциальные уравнения. Общие свойства нелинейной цепи будут проявляться в простых цепях, содержащих один нелинейный резистор. Кстати, простые нелинейные цепи наиболее часто используются в радиоэлектронике. Для их анализа будем использовать один из аналитических методов – метод тригонометрических формул.

В соответствии с методом тригонометрических формул вольт-амперную характеристику нелинейного резистора аппроксимируем полиномом:

i, (1)

где коэффициенты a_i (i=0, 1, 2,…, n) зависят от вида ВАХ и находятся, как правило, приравниванием значений полинома (1) в выбранных (n+1) точках к значениям в этих же точках реальной ВАХ.

Пусть к нелинейному элементу приложено гармоническое напряжение Для простоты начальная фаза этого напряжения выбрана равной нулю. Подставляя это напряжение в формулу (1), получим ток, протекающий через нелинейный элемент,

. (2)

Используя известные тригонометрические формулы:

, ,

,..,

Перепишем выражение для тока в виде суммы постоянной составляющей и гармоник тока с кратными частотами (в виде ряда Фурье):

i=I₀+I₁cosω₀t+I₂cos2ω₀t+I₃cos3ω₀t+I₄cos4ω₀t+…,

где

, cosω₀t,

cos2ω₀t, cos3ω₀t,

cos4ω₀t.

Из анализа выражения (2) следует общее свойство нелинейных цепей – порождать в спектре выходного сигнала новые частоты, которых не было в спектре входного сигнала. Номер наивысшей гармоники в спектре выходного сигнала соответствует степени аппроксимирующего полинома.

Как известно, сумма гармоник различных, но кратных частот образует периодический сигнал, форма которого отличается от формы гармонического колебания. Следовательно, в нелинейных цепях в общем случае искажается форма сигнала. Гармонический сигнал при этом становится негармоническим, треугольный сигнал может стать трапецеидальным и т.п.

Рис. 2

На рис. 2 показаны спектры входного (рис. 2, а) и выходного (рис. 2, б) сигналов нелинейной цепи, описываемой полиномом третьей степени. Как видим, в выходном сигнале появилась постоянная составляющая, а также вторая и третья гармоники. Отметим, что возникновение новых гармоник, которых не было во входном сигнале, не нарушает законов причинности и сохранения энергии.

Новые частоты: постоянную составляющую и вторую гармонику, можно получить с помощью параметрического элемента – аналогового перемножителя, подавая на него управляющий гармонический сигнал, с частотой точно равной частоте приложенного к элементу входного напряжения.

Свойство нелинейных цепей порождать новые гармоники и искажать форму сигнала широко используется в радиоэлектронике при создании разнообразных устройств, таких как нелинейный усилитель на транзисторе или на операционном усилителе, выпрямитель на диодах, умножитель частот.