2. Спектральная плотность амплитуд и фаз непериодических сигналов.

Пример 12. Определим спектральную плотность прямоугольного умпульса, изображенного на рисунке 2.1. Для расчета его комплексной спектральной плотности воспользуемся преобразованием Фурье (10).

Рис. 2.1 Прямоугольный импульс

Уравнение удобнее преобразовать к виду:

так как это выражение содержит функцию sinα/α, поведение которой хорошо известно: эта затухающая функция максимальна и равна 1, когда α=0; она принимает нулевые значения при α= ±kπ.

График комплексной спектральной плотности прямоугольного импульса изображен на рис. 2.2. В тех областях частот, где функция положительна, спектральная плотность фаз ; там же, где отрицательна, спектральная плотность фаз равна ±180˚.

Рис. 2.2 Спектральная плотность прямоугольного импульса

а)

б )

Рис. 2.3 Спектральные плотности (спектры) амплитуд (а) и фаз (б) прямоугольного импульса

Поэтому на графиках можно изобразить отдельно спектральную плотность амплитуд – модуль || и спектральную плотность фаз (рис.2.3)

Пример 13. Определим спектральную плотность амплитуд прямоугольного импульса, изображенного на рис . 2.4, если τ = 1 мс, U = 10 В.

Комплексную спектральную плотность прямоугольного импульса (рис. 2.4) определим, используя прямое преобразование Фурье (10);

Рис. 2.4. Прямоугольный импульс

Полученное выражение отличается, от комплексной спектральной плотности прямоугольного импульса, изображенного на рис. 2.1, множителем , учитывающим запаздывание сигнала (рис. 2.4) на τ/2 и влияющим только на спектральную плотность фаз. Спектральная плотность амплитуд - это модуль комплексной спектральной плотности, поэтому

Обратим внимание на то, что спектральная плотность амплитуд прямоугольных импульсов, изображенных на рис. 2.1 и 2.4, рассчи - тывается по одной и той же формуле. Это означает, что графики спектральной плотности амплитуд импульсов также совпадают (рис 2.3, а).

Построим график . Для этого, прежде всего, рассчитаем значение спектральной плотности амплитуд на нулевой частоте, которое равно площади прямоугольного импульса:

Рис. 2.5. Спектральная плотность амплитуд прямоугольного импульса

Частоты f, на которых спектральная плотность обращается в нуль, можно найти из соотношения

Эти частоты равны , т.е. 1; 2; 3 кГц и т.д. На частотах 1,5 и 2,5 кГц лепестки функции принимают максимальные значения, равные соответственно 2 и 1,3 мВ∙ с. График спектральной плотности амплитуд приведен на рис. 2.5.

Пример 14. Найдем комплексную спектральную плотность треугольного импульса, изображенного на рис. 2.6, на частоте f= 200 Гц, если U = 10 В, τ= 5 мс.

Сигнал можно записать следующим образом:

Рассчитываем комплексную спектральную плотность импульса (рис. 2.6):

Берем интеграл по частям и получаем

На частоте f= 200 Гц комплексная спектральная плотность

Рис. 2.6. Треугольный импульс

равна ,т.е. спектральная плотность амплитуд равна 8 мВ∙с, а спектральная плотность фаз равна 90˚.

Пример 15. Найдем значение комплексной спектральной плотности импульса, изображенного на рис. 2.7, на частотах, равных нулю и . На отрезке времени от нуля до τ = 5 мкс функция имеет вид

В.

Определим комплексную спектральную плотность импульса (рис. 2.7) по формуле (10):

Рис. 2.7. Экспоненциальный импульс

Рассчитаем значение на частоте = 0:

Спектральная плотность амплитуд на частоте = 0 равна 28,6 В∙с; спектральная плотность фаз φ(0) равна 0˚.

На частоте имеем

Спектральная плотность амплитуд на частоте равна 26,9 мкВ∙с, а спектральная плотность фаз равна -21,8˚.

Покажем, что в отличие от прямоугольного импульса спектральная плотность импульса, изображенного на рис. 2.7, вообще не имеет нулей ни при каких конечных значениях частоты .

Действительно, для того чтобы была равна нулю, необходимо, чтобы выполнялось равенство

или

Используя формулу Эйлера, запишем систему уравнений:

Эта система уравнений несовместна.

Пример 16. Определим спектральные плотности амплитуд и фаз прямоугольного импульса, изображенного на рис. 2.8, а.

Комплексная спектральная плотность прямоугольного импульса, симметричного относительно оси ординат (рис. 2.1), рассчитывается по формуле (15):

Сигнал на рис. 2.8 задержан на время, равное длительности импульса . Тогда по теореме запаздывания комплексная спектральная плотность этого импульса имеет вид

Спектральная плотность амплитуд импульсов, изображенных на рис. 2.1 и рис. 2.8(а), рассчитывается по одной и той же формуле:

а спектральная плотность фаз импульса на рис. 2.8, а рассчитывается по формуле:

где аргумент синусоидальной функции. Трафики спектральной плотности амплитуд

и фаз сигнала на рис. 2.8(а) приведены на рис. 2.8 (б, в).

Рис. 2.8. Прямоугольный импульс (а) и его амплитудный (б) и фазовый (в) спектры

Пример 17. Найдем спектр сигнала, полученного в результате дифференцирования экспоненциального импульса (при t ≥ 0), если U=10 B, a=.

Комплексная спектральная плотность экспоненциального импульса определяется выражением

Дифференцирование сигнала приводит к умножению его спектра на , поэтому комплексная спектральная плотность сигнала:

рассчитывается по формуле:

Спектральные плотности амплитуд и фаз равны соответственно:

Графики сигнала и спектральных плотностей и приведены на рис. 2.9.

Рис. 2.9. Импульс (а) и его спектры амплитуд (б) и фаз (в)

Пример 18. Построим спектр амплитуд последовательности прямоугольных импульсов, полученных повторением одиночного импульса, изображенного на рис. 2.4 (пример 13), с периодом . Параметры прямоугольного импульса (рис. 2.4) остаются неизменными: U= 10В, τ=1 мс.

Спектр, амплитуд периодической последовательности прямоугольных импульсов определяется в соответствии с (15):

Этот спектр является дискретным, его огибающая изменяется по закону

Рис. 2.10 Спектр амплитуд последовательности прямоугольных импульсов

а нули расположены на частотах гармоник, номера k которых кратны скважности q.

Рассчитаем постоянную составляющую и амплитуды первых семи гармоник спектра. Найдем вначале частоты гармоник:

= 1/T = 1/(3∙) = 0,333 кГц;

= 2 = 0,67 кГц; = 1,0 кГц; = 1,3ЗЗ кГц; = 1,67З кГц;

= 2,0 кГц: = 2,ЗЗЗ кГц.

Для расчета спектра необходимо знать скважность q импульсов:

Постоянная составляющая спектра

Амплитуды гармоник спектра рассчитываются по формуле

И равны соответственно:

5,52 В; =2,76 В; =0 В;

=1,38 В; =1,10 В; =0 В; =0,79 В.

График спектра амплитуд приведен на рис. 2.10

Сравнивая его с графиком спектральной плотности амплитуд (рис. 2.5) непериодического импульса, легко убедиться, что спектральные линии вписываются в огибающую, которая имеет такую же форму, что и спектр одиночного прямоугольного импульса, но значения дискретных отсчетов отличаются от значений соответствующих спектральных плотностей.

Пример 19. Найдем спектральную плотность амплитуд выходного сигнала в цепи, изображенной на рис. 2.11, на вход которой подается прямоугольный импульс (рис. 2.12). Параметры сигнала и элементов цепи заданы: U=4 В, τ = 250 мкс, R = 5 Ом, С=25 мкФ.

Определим вначале комплексную спектральную плотность входного прямоугольного импульса, используя преобразование Фурье (пример 13) :

Рис. 2.11. RС-цепь

Рис. 2.12. Прямоугольный импульс

Спектральная плотность амплитуд

принимает значение, равное площади импульса = 1 В∙мс на нулевой частоте, и значения, равные нулю на частотах =k/τ, т.е. кратных 4 кГц.

График приведен на рис. 2.13

Рис. 2.13. Спектры амплитуд входного сигнала (а), АЧХ цепи (б) и выходного сигнала (в)

Найдем теперь комплексную передаточную функцию цепи, изображенной на рис. 2.11. В соответствии с (12) имеем

АЧХ RС-цепи

уменьшается от единицы до нуля с ростом частоты. График зависимости Н(f) изображен на рис. 2.13, б.

Спектральную плотность амплитуд выходного сигнала найдем, используя (13):

График приведен на рис. 2.13, в.