Линейная алгебра и геометрия методичка
.pdf11
Задача 4. Найти точку пересечения прямой, проходящей через точки А(4;6;8) и B(5;8;9), с плоскостью (XOY).
|
|
|
Пусть |
|
точка |
|
M(x;y;z) является |
||||||
|
|
|
искомой точкой. Поскольку эта точка |
||||||||||
|
|
|
лежит в плоскости (XOY), то z=0. |
||||||||||
|
|
|
Так как векторы |
|
→ |
→ |
|||||||
|
|
|
|
AM и |
AB лежат на |
||||||||
|
|
|
одной прямой, то они коллинеарны. |
||||||||||
|
|
|
Напомним |
|
|
|
|
что |
векторы |
||||
|
|
|
aG = {X1 ;Y1 ; Z1 |
}, |
|
|
|
b = {X2 ;Y2 ; Z2 } |
|||||
|
|
|
коллинеарны тогда, и только тогда, |
||||||||||
|
|
|
когда |
X1 |
= |
|
Y1 |
= |
Z1 |
. |
|
||
|
|
|
|
|
Y |
|
|
||||||
|
|
|
|
X |
2 |
|
|
|
Z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
Напомним |
формулу |
вычисления |
|
|
координат |
вектора, |
|||||||
соединяющего |
две |
точки |
|
M1 (x1 , y1 , z1 ) и |
M2 (x2 , y2 , z2 ) : |
M1→M2 = {x2 − x1 ; y2 − y1 ; z2 − z1}.
→ |
= {1;2;1} , |
→ |
|
|||||
Тогда AB |
AM = {x − 4; y − 6;−8}. Из условия их коллинеарности |
|||||||
получаем |
|
x − 4 |
= |
|
y − 6 |
= −8 . |
||
1 |
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|||
Следовательно: |
x − 4 |
= −8 , x-4=-8, x=-4; |
||||||
|
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2− 6 = −8 ; y-6=-16; y=-10. Ответ: M(-4;-10;0).
Задача 5. Средствами векторной алгебры найти точку пересечения плоскости, проходящей через точки А(1;2;1), B(-3;-3;4), C(2;-1;3) с осью Z.
Так как точка М лежит на оси Z, то она имеет координаты M(0;0;z), где z - неизвестное число. Так как точки А, В, С, М лежат в одной плоскости,
то векторы |
→ |
→ |
→ |
AM , |
AC , |
AB - |
компланарны. Следовательно, их
смешанное |
|
произведение |
равно |
|
нулю. |
|
|
|
|
Напомним, |
|
что |
смешанное |
|
произведение |
трех |
векторов |
||
aG = {X1 ;Y1 ; Z1 |
}, |
b = {X2 ;Y2 ; Z2 } |
, |
12
cG = {X3 ;Y3 ; Z3 }по |
определению равно |
( |
a |
b c) = ([ |
a |
×b] c) |
и |
|||||||
вычисляется по формуле |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
bG c) = |
|
X1 |
Y1 |
Z1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
( |
a |
|
X2 |
Y2 |
Z2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
X3 |
Y3 |
Z3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как |
→ |
→ |
→ |
AM ={-1;-2;z-1}, |
AB ={-4;1;3}, |
AC ={1;-3;2}, то из условия |
|
→ → |
→ |
|
|
( AM AB AC )=0 получаем уравнение для определения z.
(Отметим, то полученное уравнение аналогично рассмотренному в задаче 1).
1 |
− 2 |
z −1 |
= 0, (−1) |
|
1 3 |
|
− (−2) |
|
− 4 |
3 |
|
+ (z −1) |
|
− 4 |
1 |
|
= 0 , |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
− 4 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
− 3 2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
− 3 |
|
|||||||
1 |
− 3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-11-22+11(z-1)=0, 11z=44. Z=4.
Ответ: M(0;0;4).
Задача 6. Средствами векторной алгебры найти расстояние от точки A(3;2;5) до прямой, проходящей через точки B(1;4;9) и C(3;7;1).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Расстояние от точки А до прямой ВС равно |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
высоте h треугольника АВС, проведенной |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из вершины А. |
|
Для площади треугольника |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
известна |
формула SABC = |
|
1 |
BC h . |
Площадь |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
треугольника |
равна |
половине |
площади |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
параллелограмма, |
|
|
|
построенного |
|
на |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
векторах |
|
→ |
и |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
BA |
BC . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Используя |
|
свойства |
|
векторного |
|
|
|
произведения, |
|
имеем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
S A B C |
= |
|
|
|
|
|
B A × B C |
. |
Поскольку |
|
|
длина |
|
стороны |
|
ВС равна |
|
→ |
, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
BC |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получаем следующую формулу для вычисления расстояния |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2SABC |
|
|
|
BA× |
BC |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
h = |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
BC |
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
BC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
= |
4 + 9 |
+ 64 = |
|
77 |
. |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
BC ={2;3;-8}. |
BC |
|
|
|
BA ={2;-2;-4}. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
iG |
|
Gj |
|
|
|
|
|
kG |
|
|
|
− 2 − 4 |
|
|
|
2 |
− |
4 |
|
G |
|
2 |
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
→ |
|
|
→ |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
− |
G |
|
|
|
|
|
= {28;8;10} . |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
BA |
× BC |
2 |
− 2 |
− 4 |
= i |
|
3 − |
8 |
|
j |
|
2 |
|
8 |
|
+ k |
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
− 8 |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B A × |
B C |
|
= 7 8 4 + 6 4 + 1 0 0 = 9 4 8 ; h = |
948 |
. Ответ: h = |
948 |
. |
||
|
|||||||||
|
→ |
→ |
|
|
|
77 |
|
77 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13
Задача 7. Средствами векторной алгебры найти расстояние от точки D(4;9;1) до плоскости, проходящей через точки A(4;0;0), B(1;1;2) и C(6;-4;2).
Решение. Расстояние от точки D до плоскости АВС равно длине высоты H в пирамиде ABCD, проведенной из вершины D. Так как
объем пирамиды |
VABCD = |
1 |
SABC H , |
то |
||||
|
||||||||
|
3VABCD |
|
|
|
3 |
|
||
H = |
. Объем |
пирамиды равен |
||||||
SABC |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
одной |
шестой |
|
части |
|
объема |
|||
параллелепипеда, |
построенного |
на |
||||||
векторах |
→ |
→ |
→ |
|
Согласно |
|||
AB , |
AC , AD . |
|
геометрическому смыслу смешанного произведения известно, что модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
|
|
|
Тогда VABCD = |
1 |
|
|
→ → → |
|
. |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
→ → |
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB AC AD |
|
|
SABC |
= |
|
|
|
|
|
|
|
AB× AC |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
AC AD |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Следовательно H = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB× AC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Имеем |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
={2;-4;2}, |
|
|
|
→ |
|
={0;9;1}. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
AB ={-3;1;2}, |
AC |
|
|
AD |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
→ → → |
|
− 3 1 2 |
= − |
3 |
|
− 4 2 |
|
−1 |
|
2 2 |
|
+ 2 |
|
2 − 4 |
|
= |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
AB AC AD = |
2 − 4 2 |
|
9 |
1 |
|
|
0 |
1 |
|
|
0 |
9 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
9 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
=-3(-4-18)-(2)+2(18)=100. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
G |
|
G |
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
→ |
→ |
= |
i |
|
j |
|
|
k |
|
|
= iG |
|
|
|
|
− Gj |
|
|
|
|
|
+ kG |
|
|
|
|
|
|
={10;10;10}. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
AB× AC |
− 3 1 |
2 |
|
1 |
|
|
2 |
− 3 |
2 |
− 3 |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
− 4 |
2 |
|
|
|
− 4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
− 4 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
= |
100 +100 +100 = 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
AB× AC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда H= 101003 = 103 3 .
Ответ: H= 103 3 .
14
Задача 8. В параллелограмме ABCD: AB=12, AD=24, A= π3 .
Точка М, лежащая на стороне ВС, делит эту сторону в отношении ВМ:MC=1:3, точка N, лежащая на стороне CD, делит эту сторону в отношении CN:ND=1:5. Найти косинус угла MAN.
Решение. Сформулируем условие этой задачи на языке аналитической геометрии. Искомый угол - это угол между
векторами |
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AM |
и AN . Стороны параллелограмма АВ и AD будем |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
→ |
|
|
→ |
|
= 12 , |
→ |
= 24 . |
||
рассматривать как векторы AB и |
AD . При этом |
AB |
|
AD |
||||||||||||||
Угол между этими векторами равен |
π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из правила сложения векторов следует: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
→ |
→ |
→ |
|
→ |
→ |
|
|
→ |
→ |
→ |
→ |
|
|
|||||
AM = AB + BM . Так как |
BM = 1 |
BC = 1 |
AD , то |
AM = AB + |
1 AD ; |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||
→ |
→ |
→ |
|
→ |
→ |
5 |
|
→ |
→ |
→ |
→ |
|
|
|||||
AN = AD + DN . Так как |
DN = |
5 |
|
DC = |
|
AB , то AN |
= AD + |
5 |
AB . |
|
|
|||||||
|
6 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
Далее мы фактически повторяем решение, приведенное в задаче 2.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AM AN |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Пусть MAN=α. Тогда cosα= |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AM |
|
|
|
AN |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предварительно |
|
|
|
|
|
|
|
вычислим: |
|
|
|
→ |
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
→ |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( AB AB )=144, |
( AD AD )=576, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
→ |
→ |
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
=12 24 |
1 |
|
=144. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
( AB AD )=| AB |
|| AD |cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
5 |
|
||||||||
|
|
|
→ → |
|
|
→ |
|
→ |
|
|
|
→ |
|
|
→ |
|
|
|
→ → |
|
|
|
|
|
|
|
|
→ → |
→ → |
|||||||||||||||||||||||||
( |
AM AN )=(( |
|
AB + |
|
AD )( AD + |
|
AB ))=( AB AD )+ |
|
( |
AD AD )+ |
( AB AB ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
6 |
|
4 |
|
6 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
+ |
|
( AD AB )=144+144+120+30=438. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
→ |
→ |
|
|
|
→ |
|
|
→ |
|
|
|
→ |
|
→ |
|
|
→ → |
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
|
|||||||||||||||||||||||
( |
AM AM )=(( AB + |
AD )( AB + |
|
AD ))=( AB AB )+ |
( |
AB AD )+ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
+ |
|
( AD AD )=144+72+36=252. Значит | AM |= |
|
252 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
→ |
→ |
|
|
→ |
|
|
→ |
|
|
|
→ |
|
|
|
→ |
|
|
|
→ |
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
|
|||||||||||||||
( |
AN AN )=(( |
AD + |
|
|
AB )( |
AD + |
5 |
|
AB ))=( |
AD AD )+ |
|
( AB AD )+ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
( AB AB )=576+240+100=826. Значит | |
AN |= |
|
916 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
36 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AM AN |
|
|
|
|
438 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Тогда cosα= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
→ |
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
252 |
|
916 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AM |
AN |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответ: cosα= |
438 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
252 |
|
|
916 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15
Задача 9. Найти точку пересечения медиан в треугольнике АВС: A(0;12;24), B(36;6;6), C(18;48;36).
Напомним формулу деления отрезка в данном отношении.
Точка M(x;y;z) делит отрезок M1 M2 в отношении λ, если M1 M = λ .
MM2
Если координаты точек M1 и M2 соответственно равны M1 (x1 ; y1 , z1 ) , M2 (x2 ; y2 , z2 ) , то координаты точки М вычисляются по следующим
формулам: |
x = |
x1 + λx2 |
, |
y = |
y1 + λy2 |
, z = |
|
z1 + λz2 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 + λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + λ |
|
|
|
1 + λ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Точка D(xD , yD , zD ) делит |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отрезок ВС |
пополам (в отношении |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ=1). |
|
|
|
|
xB + xC |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
xD = |
= 27 , |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yD |
= |
yB + yC |
|
= 27 |
, zD = |
zB + zC |
= 21 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Известно, что точка пересечения |
||||||||||||
|
|
|
|
AM |
|
|
|
|
|
медиан М делит отрезок AD в |
|||||||||||||
отношении |
|
|
= 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
MD |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Следовательно xM = |
xA + 2xD |
= 18 , |
yM = |
yA + 2 yD |
= 22 , |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
zA + 2zD |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
zM = |
|
= 22 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: M(18;22;22). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Задача 10. Вершины треугольника АВС имеют координаты: A(4;2), |
B(10;10), C(20;14).
Найти: а) уравнение и длину медианы, проведенной из вершины А; б) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины А; в) уравнение биссектрисы, проведенной из вершины А; г) проекцию точки А на сторону ВС;
д) точку, симметричную точке А относительно стороны ВС. Прежде чем приступить к решению данной задачи, напомним некоторые сведения об уравнении прямой на плоскости.
1.Уравнение прямой, проходящей через точку |
M0 (x0 , y0 ) |
перпендикулярно вектору N = {A; B} (называемому |
нормальным |
вектором прямой) может быть записано в виде A(x − x0 ) + B( y − y0 ) = 0 .
2. Уравнение |
прямой, |
проходящей через |
точку |
|
M0 (x0 , y0 ) |
||
параллельно |
вектору |
a = {l;m} (называемому |
направляющим |
||||
вектором прямой) может быть записано в виде |
(x − x0 ) |
= |
( y − y0 ) |
. |
|||
|
|
||||||
|
|
|
|
l |
|
m |
16
3.Уравнение вида Аx+By+C=0 (линейное относительно координат x, y) определяет на плоскости прямую линию и вектор N = {A; B} будет перпендикулярен этой прямой.
4.Расстояние от точки M0 (x0 , y0 ) до прямой, заданной уравнением
Аx+By+C=0 вычисляется по формуле d = |
|
Аx0 + By0 + C |
. |
|
|||||
|
|
|
|
||||||
|
|
A2 + B2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Определим уравнение медианы АМ. |
|||||||||
Точка М( xM ; yM ) середина отрезка ВС. |
|||||||||
Тогда |
|
xM = |
xB + xC |
= 15, |
|||||
|
|
||||||||
|
yB + yC |
|
|
|
|
2 |
|
||
yM = |
= 17 . |
Следовательно точка |
|||||||
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
М имеет координаты M(15;17). Уравнение медианы на языке аналитической геометрии это
уравнение прямой, проходящей через точку А(4;2) параллельно
вектору |
|
→ |
|
медианы имеет вид |
|||||
AM ={11;15}. Тогда уравнение |
|||||||||
|
x − 4 |
|
y − |
2 |
. Длина медианы АМ= |
|
→ |
|
+ 225 = 346 . |
|
|
|
|
||||||
|
= |
|
AM |
= 121 |
|||||
11 |
15 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение высоты AS - это уравнение прямой, проходящей
→
через точку А(4;2) перпендикулярно вектору BC ={10;4}. Тогда уравнение высоты имеет вид 10(x-4)+4(y-2)=0, 5x+2y-24=0.
Длина высоты - это расстояние от точки А(4;2) до прямой ВС. Данная прямая проходит через точку B(10;10) параллельно вектору
→ |
x −10 |
|
y −10 |
|
|
|
BC ={10;4}. Ее уравнение имеет вид |
= |
, |
2x-5y+30=0. |
|||
10 |
4 |
|||||
|
|
|
|
Расстояние AS от точки А(4;2) до прямой ВС, следовательно, равно
AS= |
|
|
2 4 −5 2 + 30 |
|
|
= |
28 |
. |
|
|
|
||||||
|
|
|||||||
|
|
22 + (−5)2 |
|
|
29 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Для определения уравнения биссектрисы найдем вектор a параллельный этой прямой. Для этого воспользуемся свойством
диагонали ромба. Если от точки |
А отложить единичные векторы |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
|
||
одинаково направленные с векторами AB и |
AC , то вектор, равный их |
|||||||||||||||||
сумме, |
будет |
параллелен |
биссектрисе. |
Тогда |
имеем |
|||||||||||||
a = |
|
|
→1 |
AB + →1 |
AC . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
AB |
|
|
|
|
AC |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
={6;8}, |
|
→ |
|
= |
→ |
|
→ |
|
= |
256 +144 = 20 . |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
AB |
|
AB |
|
36 + 64 = 10 , AC ={16,12}, |
AC |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17
Тогда |
a = |
|
1 |
{6;8} + |
1 |
{16;12} |
= { |
7 |
; |
7 |
}. |
В качестве направляющего |
10 |
20 |
|
5 |
|||||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|||||
вектора |
искомой |
прямой |
|
может |
служить вектор a1 ={1;1}, |
коллинеарный данному. Тогда уравнение искомой прямой имеет вид x −1 4 = y −1 2 или x-y-2=0.
Точка S(x,y) - проекция точки А на прямую ВС является точкой пересечения высоты AS и стороны ВС. Для определения координат точки S имеем систему уравнений.
5x + 2 y = 24,2x −5y = −30.
Для ее решения воспользуемся формулами Крамера x = |
x , y = |
y |
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
5 |
2 |
|
|
= −29 , |
x = |
|
|
24 |
2 |
|
= −60 , |
y = |
|
5 |
24 |
|
= −198 . |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
−5 |
|
|
|
− 30 |
−5 |
|
|
2 |
− 30 |
|
|
|
|
||||||||||||
Имеем x = |
60 |
, |
y = |
198 |
. |
Cледовательно, |
S |
|
имеет |
координаты |
|||||||||||||||||||
29 |
29 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
60 |
|
|
198 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
S( |
|
; |
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
29 |
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для определения координат симметричной точки воспользуемся тем, что точка S делит отрезок АК пополам (в
отношении |
λ=1). |
Тогда |
|
|
|
xS = |
|
xA + xK |
. |
|
|
Тогда |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
198 |
|
|
338 |
|
||
xK |
= 2xs − xA = 2 |
− 4 = |
. Аналогично yK = 2ys |
− yA = 2 |
− 2 = |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
|
29 |
|
|||||
|
4 |
|
|
|
|
338 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
К |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ: уравнение медианы |
x − 4 |
= |
|
y − 2 |
; |
длина |
медианы |
346 ; |
|||||||||||||||||||||||||||
11 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
28 |
|
|
|
|
|
|
||||||
уравнение высоты 5x+2y-24=0; |
|
|
длина |
высоты |
|
; уравнение |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
29 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
биссектрисы x-y-2=0; проекция |
|
точки |
А на |
сторону |
ВС |
точка |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
60 |
|
|
198 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
338 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
S( |
|
|
; |
|
|
|
); симметричная точка К |
|
|
|
; |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
29 |
|
|
29 |
|
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 11 Даны координаты вершин пирамиды: A(10;6;6), B(−2;8;2),
C(6;8;9), D(7;10;3) . Требуется найти:
1)косинус угла между ребрами AB и AC;
2)площадь грани ABC;
→ →
3)проекцию вектора AB на AD ;
4)объем пирамиды;
18
5)уравнение прямой AD;
6) уравнение плоскости ABC;
7)уравнение и длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC;
8)точку K - проекцию точки D на грань ABC;
9)точку P - проекцию точки D на ребро AB.
Напомним некоторые сведения об уравнениях прямой и
плоскости в пространстве. |
|
|
|
1. Уравнение |
плоскости, |
проходящей |
через точку |
M0 (x0 ; y0 ; z0 ) перпендикулярно вектору |
N ={A;B;C} |
||
имеет вид A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 . |
|
||
2.Уравнение |
вида |
Ax+By+Cz+D=0 |
(линейное |
относительно координат x y z) определяет в пространстве плоскость и вектор N ={A;B;C} (называемый нормальным вектором плоскости ) перпендикулярен этой плоскости.
3. Расстояние |
d от точки |
M0 (x0 ; y0 ; z0 ) до плоскости, |
|
заданной |
уравнением |
Ax+By+Cz+D=0 |
равно |
d = Ax0 + By0 + Cz0 + D .
A2 + B2 + C2
4.Уравнение прямой, проходящей через точку M0 (x0 ; y0 ; z0 ) параллельно вектору a ={l;m;n} (называемый направляющим вектором) может быть записано в одном из двух видов:
канонический x −l x0 = y −my0 = z −nz0 ;
x = x0 + lt,
параметрический y = y0 + mt, где t (−∞;+∞)
z = z0 + nt.
Решение.
Косинус угла ϕ между ребрами AB и AC - это косинус
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
угла между векторами AB и |
AC . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
→ |
|||||
|
|
|
|
|
|
→ |
|
→ |
|
|
AB AC |
|||||||||
Имеем |
AB ={-12;2;-4}, |
AC ={-4;2;3}. |
cosϕ= |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||||||
|
|
|
→ |
|
|
|
→ |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
AC |
|
|
|
→ → |
|
+ 2 2 + (−4) 3 = 40 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
AB AC = (−4)(−12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
→ |
|
= |
144 + 4 +16 = |
164 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
= |
16 + 4 + 9 = |
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
AC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19
|
→ |
→ |
|
iG |
Gj |
|
|
||||||
= |
−12 |
2 |
||||
AB× AC |
||||||
|
|
|
|
− 4 |
2 |
k |
= iG |
|
2 |
− 4 |
|
− Gj |
|
−12 |
|
|
|
||||||
− 4 |
|
|
|
|||||
|
2 |
3 |
|
|
− 4 |
|||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда cosϕ= |
40 |
. |
164 29 |
Площадь грани ABC - это площадь треугольника АВС, которая равна
S ABC = |
1 |
|
|
→ |
→ |
|
. |
|
|
|
|||||||
|
|
AB× AC |
|
|||||
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− 4 |
|
G |
|
−12 |
2 |
|
= {14;52;-16} |
|
|
|
|||||
3 |
|
+ k |
|
− 4 |
2 |
|
S ABC |
= |
1 |
|
196 + 2704 + 256 = |
1 |
|
|
3156 = |
789 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Проекция вектора |
на |
вычисляется |
по |
формуле |
||||||||||||||||
|
|
|
|
AB |
AD |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
→ |
|
|
|
|
AB AD |
|
|
|
→ |
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
пр → |
AB |
= |
|
|
|
|
|
|
|
. Так как |
AD ={-3;4;-3}, то |
AD |
|
= 9 |
+16 |
+ 9 |
= 34 , |
|||||||
|
|
|
→ |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
AD |
|
|
|
|
|
|
AD |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→→
( AB AD )=(-12)(-3)+2 4+(-4)(-3)=56.
|
|
|
Следовательно пр → |
AB = 56 . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AD |
34 |
|
||
|
1 |
|
Объем |
пирамиды |
VABCD вычисляется по формуле |
||||||
|
|
|
→ → |
→ |
|
. Используя формулу вычисления смешанного |
|||||
|
|
|
|||||||||
VABCD = |
|
|
|
AB AC AD |
|
||||||
6 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
произведения, получаем
|
→ → |
→ |
|
−12 |
|
= |
− 4 |
||||
AB AC AD |
|||||
|
|
|
|
− 3 |
|
|
|
|
|
2 |
− 4 |
= −12 |
|
2 |
3 |
|
− 2 |
|
− 4 3 |
|
− 4 |
|
− 4 2 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
4 |
− 3 |
|
|
− 3 − 3 |
|
|
− 3 4 |
|
||||||
4 |
− 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −12(−18) − 2(21) − 4(−10) = 214
214 107
Следовательно VABCD = 6 = 3 .
С точки зрения понятий аналитической геометрии уравнение прямой AD - это уравнение прямой проходящей через
точку A(10;6;6) параллельно вектору |
→ |
|
|
|
В каноническом |
|||
AD ={-3;4;-3}. |
||||||||
виде уравнение данной прямой имеет вид |
x −10 |
= |
y − 6 |
= |
z − 6 |
, |
||
− 3 |
|
− 3 |
||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
20
x = 10 − 3t,
в параметрическом y = 6 + 4t, .
z = 6 − 3t.
Для построения уравнения плоскости АВС воспользуемся следующими соображениями. (Отметим, что в учебниках имеется готовая формула уравнения плоскости, проходящей через три точки, однако мы не будем ее использовать.) Для построения уравнения плоскости необходимо знать точку и вектор, перпендикулярный этой плоскости. Даны координаты трех точек плоскости. Для построения перпендикулярного вектора воспользуемся свойством векторного произведения - векторное произведение векторов перпендикулярно каждому из векторов. Следовательно, если мы имеем два неколлинеарных вектора, параллельных плоскости, то их векторное произведение будет перпендикулярно этой плоскости. Следовательно, перпендикулярный плоскости вектор N может быть
|
→ |
→ |
|
представлен в виде N = AB× AC . |
|
||
|
|
|
|
Данное |
векторное произведение вычислено |
ранее. Имеем |
|
N ={14;52;-16}. |
|
|
|
Тогда уравнение плоскости имеет вид |
|
||
14(x-10)+52(y-6)-16(z-6)=0 или 7x+26y-8z-178=0. |
|||
Для того, чтобы найти уравнение высоты, |
опущенной из |
||
вершины |
D(7;10;3) на грань ABC , будем иметь в виду следующее. |
||
Высота |
- это прямая линия, а для определения уравнения прямой |
необходимо знать точку и направляющий вектор. Координаты точки D нам известны. Но поскольку прямая перпендикулярна плоскости АВС, то она параллельна вектору N ={14;52;-16}, перпендикулярному данной плоскости. (Координаты данного вектора были найдены при решении предыдущей задачи.)
Зная координаты |
точки D(7;10;3) и координаты вектора |
N ={14;52;-16} получаем |
следующее параметрическое уравнение |
искомой прямой. |
|
x = 7 +14t, |
|
|
|
y = 10 +52t, |
|
|
|
z = 3 −16t. |
|
При определении длины высоты (обозначим ее d), проведенной из вершины D(7;10;3) заметим, что длина высоты равна расстоянию от точки D до плоскости АВС. (Уравнение данной