УДК 517.

Алгебра и геометрия. Методические указания для студентов дневной формы обучения для подготовки к контрольным работам, зачету и экзамену.

МГУПИ. М. 2009.

Излагаются основные требования, предъявляемые при сдаче экзамена. Методические указания предназначены для студентов, обучающихся по дневной форме обучения.

2

Основные положения.

В течение семестра студенты выполняют три аудиторные контрольные работы.

Первая контрольная работа проводится по теме «Матрицы, системы уравнений» Время выполнения контрольной работы – 45 минут.

Ниже приведен образец контрольной работы Контрольная работа № 1 «Матрицы, системы уравнений»

Вторая контрольная работа проводится по теме «Векторная алгебра» Время выполнения контрольной работы – 90 минут.

Ниже приведен образец контрольной работы Контрольная работа № 2 «Векторная алгебра»

→

7а. Сила F ={1;−2;5} приложена к точке А(3;7;4). Найти модуль момента этой силы относительно точки В(1;4;5).

→

7б. Вычислить работу силы F ={3;2;1}при перемещении точки ее приложения из положения А(1;2;3) в положение В(2;5;6)

→

7в. Материальная точка с импульсом p ={5;−3;1}находится в точке А(2;5;8). Найти проекцию момента импульса точки относительно начала координат на

→

направление вектора a ={1;2; 2}.

Замечание: в каждом отдельном варианте контрольной работы присутствует только одна из задач типа 7а-7в.

Третья контрольная работа проводится по теме «Прямая, плоскость, кривые второго порядка» Время выполнения контрольной работы – 45 минут.

Ниже приведен образец контрольной работы Контрольная работа № 3. «Прямая, плоскость, кривые второго порядка»

ОБРАЗЕЦ

1.Найти точку пересечения прямой, проходящей через точки B(0;1), C(4;21) с осью ОX.

2. Найти координаты точки пересечения плоскости, проходящей через точку

→

A(6;4;8) , перпендикулярно вектору N ={−2;1; 2} с осью OY

3.Найти координаты проекции точки A(−2;14) на прямую, проходящую через точки B(−5;33), C(5;3)

4.Найти координаты проекции точки D(6;6;0) на плоскость, проходящую через точки A(1;2;−3), B(2;1;−3), C(1;4;−1) .

5.Найти координаты фокусов линии второго порядка

(x 25−3)2 + (y −92)2 =1

Экзамен по курсу «Алгебра и геометрия» состоит из двух этапов. На первом этапе проводится проверка в форме теста знания студентами основных понятий курса – уровень А.

Тест включает 11 задач. Студен считается успешно прошедшим тестовый контроль, если он решил правильно не менее 5 задач. Если студент решил правильно менее пяти задач, то он получает неудовлетворительную оценку.

Студент, решивший правильно от 5 до 8 задач получает удовлетворительную оценку.

Студенты, решившие правильно более 8 задач имеют право продолжать сдачу на хорошую и отличную оценку.

4

Примечания.

1.Приведенные здесь цифры являются ориентировочными. Точные значения критериев Вам сообщит преподаватель 2.Для тех специальностей, для которых итоговой оценкой является зачет, проводится только тест.

Экзамен на хорошую и отличную оценку проводит преподаватель и на этом экзамене проверяется глубина усвоения курса, теоретические основы курса и умение применять полученные знания к решению задач. Основные требования к знаниям изложены в уровне В.

Уровень А.

Для успешного прохождения теста студент должен уметь следующее. 1.Вычислять определители и уметь использовать метод разложения определителя по строкам и столбцам.

2.Использовать формулы Крамера для решения систем линейных уравнений. 3.Складывать и умножать матрицы.

4.Находить обратную матрицу.

5.Находить координаты вектора, соединяющего две точки, заданных своими координатами.

6.Находить координаты точки, делящую отрезок в данном отношении. 7.Находить координаты суммы векторов и координаты произведения вектора на число, если известны исходные координаты векторов в данном базисе. 8.Вычислять скалярное произведение векторов, заданных своими координатами в ортонормированном базисе.

9.Находить углы между векторами, модуль вектора и единичный вектор, соответствующий данному направлению, если известны координаты векторов в ортонормированном базисе.

10.Находить углы в треугольнике, если известны координаты его вершин в прямоугольной декартовой системе координат.

11.Знать условия параллельности и перпендикулярности векторов.

12.Вычислять векторное произведение векторов, заданных своими координатами в ортонормированном базисе.

13.Знать геометрический смысл векторного произведения.

14.Уметь определять площадь треугольника, если известны координаты его вершин в прямоугольной декартовой системе координат.

15.Вычислять смешанное произведение векторов, заданных своими координатами в ортонормированном базисе.

16.Знать геометрический смысл смешанного произведения.

17.Уметь определять объем косоугольного параллелепипеда и объем треугольной пирамиды, если известны координаты ее вершин в прямоугольной декартовой системе координат.

18.В прямоугольной декартовой системе координат находить: уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору; уравнение прямой, проходящей через данную точку, параллельно данному вектору; уравнение прямой, проходящей через две данные точки;

5

уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом.

19.Определять расстояние от точки до прямой, заданной общим уравнением. 20.Определять условия параллельности и перпендикулярности прямых, угол между прямыми.

21.В прямоугольной декартовой системе координат находить: уравнение плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору; уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

22.Определять расстояние от точки до плоскости, заданной общим уравнением.

23.В прямоугольной декартовой системе координат находить: каноническое и параметрическое уравнение прямой, проходящей через данную точку, параллельно данному вектору; уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

24.Определять точку пересечения прямой и плоскости.

25.Определять угол между плоскостями, условие параллельности плоскостей.

26.Знать условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

27.Определять проекции точек на прямую и плоскость.

Образцы экзаменационных тестовых задач.

1. Найти сумму элементов матрицы, полученной перемножением матриц

3x + 4y + 2z =8, 3. Найти х, решив систему уравнений 2x − 4y −3z = −1,

x +5y + z =0.

4.Вершины треугольника АВС имеют координаты А(1;3;2), В(3;5;1), С(2;7;2). Найти: косинус угла при вершине А; площадь треугольника.

5.Найти точку пересечения прямой, проходящей через точки А(1;3;5) и В(2;1;6) с плоскостью XOY.

6.Найти точку пересечения плоскости, проходящей через точки А(1;3;2),

В(3;5;1), С(2;7;2) с осью OX.

7.Найти расстояние от точки D(5;2;7) до плоскости, проходящей через точки А(1;3;2), В(3;5;1), С(2;7;2).

8.Найти квадрат площади треугольника с вершинами в точках

A(-8;-6;-1), B(-7;4;-2), C(0;-1;1)

9. Найти сумму координат точки пересечения с осью ОХ плоскости,

проходящей через точки A(1;2;3), B(2;-1;1), C(-1;-2;0)

6

10.Найти сумму координат точки пересечения XOY с прямой, проходящей через точки A(1;2;3), B(2;1;1)

11.Найти сумму координат проекции точки D(3;2;7) на плоскость,

проходящую через точки A(2;0;0), B(0;3;0), C(1;0;3)

12.Найти сумму координат проекции точки A(5;6) на прямую, проходящую через точки B(1;3), C(5;11)

13.Найти точку пересечения с осью ОХ прямой, проходящей через точки

15. Вычислить увеличенный в 6 раз объём пирамиды, вершины которой находятся в точках A(2;0;1), B(1;1;1), C(2;1;-1), D(4;3;3)

УРОВЕНЬ В.

При сдаче экзамена на хорошую и отличную оценку проверяются не только умение решать задачи, но и знание основных вопросов теории. Студент должен знать определения и уметь отвечать на следующие теоретические вопросы.

1.Определение определителя квадратной матрицы и доказывать основные свойства определителей на примере определителя третьего порядка. 2.Выводить формулы Крамера. Знать условия существования ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений.

3.Доказывать основные свойства линейных операций над векторами.

4.Доказывать основные свойства проекций векторов на ось.

5.Доказывать правила сложения векторов и умножения вектора на число если известны координаты вектора в некотором базисе.

6. Выводить формулы для координат вектора, соединяющего две точки. 7.Выводить формулы, для координат точки, делящей отрезок в данном отношении, если известны координаты концов отрезка.

8.Знать определение скалярного произведения, доказывать его основные свойства, выводить формулу вычисления скалярного произведения векторов, заданных своими координатами в ортонормированном базисе.

9.Знать определение векторного произведения, доказывать его основные свойства, выводить формулу вычисления скалярного произведения векторов, заданных своими координатами в ортонормированном базисе.

10.Знать определение смешанного произведения, доказывать его основные свойства, выводить формулу вычисления скалярного произведения векторов, заданных своими координатами в ортонормированном базисе.

11.Выводить условия коллинеарности двух векторов, компланарности трех векторов, условие ортогональности векторов.

12.Выводить уравнение прямой на плоскости: проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору; проходящей через данную точку, параллельно данному вектору; проходящей через две данные точки.

7

13.Выводить формулу вычисления расстояния от точки до прямой. 14. Выводить уравнение плоскости, проходящей через данную точку,

перпендикулярно данному вектору; проходящей через три данные точки. 15.Выводить формулу вычисления расстояния от точки до плоскости. 16.Выводить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через данную точку, параллельно данному вектору; проходящей через две данные точки.

17.Знать определения и выводить канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы.

18.Знать уравнения и делать схематические рисунки поверхностей второго порядка: эллипсоид; однополостный и двуполостный гиперболоид; эллиптический и гиперболический параболоид; эллиптический конус; цилиндры.

19.выводить формулы изменения координат точки при параллельном переносе координатных осей и при повороте системы координат. 20.Использовать метод Жордана-Гаусса для исследования систем линейных уравнений.

21.Знать определение ранга матрицы и уметь его вычислять.

22.Выводить формулу изменения координат вектора при переходе к другому базису.

23.Знать определение линейного оператора, его матрицы в данном базисе, формулу преобразования матрицы при переходе к другому базису. 24.Знать определение собственного вектора и собственного значения линейного оператора и уметь их определять.

Образцы задач.

1.Пользуясь методом Жордана-Гаусса, решить системы уравнений

3.Найти: а) собственные значения линейного оператора A; б) единичные

собственные векторы, составляющие острый угол с осью Ох. A = −1 41 2

8

6.Пусть даны матрицы A(aij ) размерности (m ×n) . На какую матрицу (справа

или слева) нужно умножить матрицу A(aij ) , чтобы в результате получилась матрица, полученная из матрицы A(aij ) умножением столбца с номером j на множитель λ.

7.Пусть даны матрицы A(aij ) размерности (m ×n) . На какую матрицу (справа или слева) нужно умножить матрицу A(aij ) , чтобы в результате получилась

матрица, полученная из матрицы A(aij ) умножением строки с номером i на множитель λ.

8.Пусть даны матрицы A(aij ) размерности (m ×n) . На какую матрицу (справа или слева) нужно умножить матрицу A(aij ) , чтобы в результате получилась матрица, полученная из матрицы A(aij ) удалением столбца с номером j

9.Пусть даны матрицы A(aij ) размерности (m ×n) . На какую матрицу (справа или слева) нужно умножить матрицу A(aij ) , чтобы в результате получилась матрица, полученная из матрицы A(aij ) удалением строки с номером i .

10. Доказать, что если система уравнений

A1 x + B1 y +C1 z + D1 =0;A2 x + B2 y +C2 z + D2 =0;A3 x + B3 y +C3 z + D3 =0;

A4 x + B4 y +C4 z + D4 =0

9

d= {1, 1, 1}.

14.В параллелограмме ABCD: AB = 6, AD = 12, A = 300. Точка М, лежащая на стороне BC, делит эту сторону в отношении BM:MC = 1:2, а точка N, лежащая на стороне CD, делит эту сторону в отношении CN:ND = 3:1.

Найти MAN.

15.Найти расстояние от точки А(2, 1, 1) до прямой, проходящей через точки

B(1, 4, 1) и C(3, 2, 1).

16.Найти расстояние от точки D(0, 0, 0) до плоскости, проходящей через

точки A(2, 1, 1), B(1, 4, 1) и C(3, 2, 1).

17.Дан треугольник АВС. На стороне АВ взята точка М, такая что AM : MB = m : n . На стороне АС взята точка N, такая что AN : NC = p : q .

Точка О является точкой пересечения прямых BN и CM. В каком отношении точка О делит отрезок BN

18. В основании пирамиды ABCD1 лежит прямоугольный треугольник ABC .

Угол BAC прямой, угол ABC равен α. Гипотенуза ВС равна c . Ребро BD равно l и составляет со сторонами АВ и АС углы β и γ соответственно. Найти площадь полной поверхности пирамиды.

плоскости, проходящей через точки P, M, N.

20.Вершины треугольника АВС имеют координаты А(2;3), В(6;6), С(10;9). Найти: а) уравнения и длины медианы и высоты, проведенных из вершины А; б) уравнение биссектрисы, проведенной из вершины А.

21.Найти проекцию точки А(4;4) на прямую, проходящую через точки В(1;3)

и С(4;9).

22. Вершины треугольника АВС имеют координаты А(1;2;3), В(3;4;4), С(5;2;6). Найти параметрические уравнения высоты, медианы и биссектрисы, проведенных из вершины А.

23.Найти точку, симметричную точке А(3;4;2) относительно плоскости,

проходящей через точки В(3;0;0), С(0;2;0), D(0;0;6).

24. Найти координаты вершин треугольника если даны координаты одной его вершины А(1;2) и уравнения его высот: 3x + 4y − 74 = 0, 5x +12y −92 = 0 .

25. Найти координаты вершин треугольника если даны координаты одной его вершины А(1;2) и уравнения его медианы: 20x − 7 y − 22 = 0, 4x + y − 22 = 0 .

10