2.3 Частотные функции и характеристики

Если на вход линейной непрерывной системы (или отдельного звена) подать синусоидальные (гармонические) колебания с постоянными амплитудой и частотой , то после затухания переходных процессов на выходе также возникают синусоидальные колебаниятой же частоты, но другой амплитуды и сдвинутые по фазе относительно входных колебаний.

Таким образом, при подаче на вход системы гармонических колебаний с постоянной амплитудой, но c различными частотами на выходе системы получаются также гармонические колебания с теми же частотами, но различными амплитудами и фазами относительно входных колебаний.

Известно, что для оригинала (а именно таковыми являются в САУ входные и выходные сигналы) имеет место одностороннее преобразование Фурье [2, 3], в соответствии с которым спектральная функцияможет быть рассчитана по формуле

, (2.10)

где — угловая частота.

Сравнивая формулу (2.10) с формулой прямого преобразования Лапласа , легко видеть их идентичность, поэтомудля перехода из области изображений в частотную область достаточно чисто формально в изображениях изаменить оператор Лапласана переменную (оператор Фурье).

Поскольку , то в результате такой замены получим

. (2.11)

Функция комплексного переменного называетсячастотной передаточной функцией (в литературе ее также часто называют комплексным коэффициентом передачи). Она получается путем чисто формальной замены в выражении передаточной функции оператора Лапласа на переменную.

Годограф функции , т.е. кривая, описываемая концом векторана комплексной плоскости при изменении частотыот нуля до бесконечности (рис. 2.8), называетсяамплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ).

Рис. 2.8 — Годограф АФЧХ и другие частотные

характеристики

Как и всякую функцию комплексного переменного, функцию можно представить в алгебраической и показательной формах записи, т.е.

, (2.12)

где и— действительная и мнимая части частотной передаточной функции, и — модуль и аргумент частотной передаточной функции.

Все величины, представленные в (2.12), являются соответствующими частотными функциями, а построенные по выражениям для функций графики — частотными характеристиками.

Зависимости иназываютсявещественной и мнимой частотными характеристиками соответственно.

Зависимость показывает отношение амплитуд выходного и входного гармонических сигналов при изменении частоты и называетсяамплитудной частотной характеристикой.

Зависимость показывает сдвиг фазы выходного гармонического сигнала относительно входного при изменении частоты и называетсяфазовой частотной характеристикой.

Между всеми частотными характеристиками существует непосредственная связь, вытекающая из тригонометрических соотношений и поясняемая рис. 2.8.

,

,

,

В практических расчетах чаще всего амплитудную и фазовую частотные характеристики изображают в логарифмическом масштабе, что позволяет в значительной степени сократить объем вычислительных работ.

Логарифмической единицей усиления или ослабления мощности сигнала при прохождении его через какое-либо устройство при выражении десятичным логарифмом величины отношения мощности на выходе к мощности на входев технике принят бел (Б). Так как мощность сигнала пропорциональна квадрату его амплитуды, получим:

Но так как бел является достаточно крупной единицей усиления (ослабления) мощности (увеличению мощности в 10 раз соответствует 1 Б), то за единицу измерения ее принят децибел, 1дБ = 0,1 Б.

С учетом этого можно записать:

Величина логарифма амплитудной частотной характеристики, выраженная в децибелах

называется логарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАЧХ).

Таким образом, изменению отношения двух амплитуд в 10 раз соответствует изменение усиления на 20 дБ, в 100 раз — на 40 дБ, в 1000 раз — на 60 дБ и т.д.

Вычислим, какому отношению амплитуд соответствует один децибел, два и т.д.

,

,

,

то есть 1 дБ ,

2 дБ ,

3 дБ .

Фазовая частотная характеристика , построенная в полулогарифмическом масштабе (в координатах: угол в градусах или радианах и ), называетсялогарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФЧХ).

Единицей измерения частоты является логарифмическая единица — декада. Декадой называется интервал частот между какой-либо величиной частоты и ее десятикратным значением.

В логарифмическом масштабе частот отрезок в одну декаду не зависит от частоты и имеет длину, равную

ЛАЧХ и ЛФЧХ строят обычно совместно, используя общую ось абсцисс (ось частот). Начало координат невозможно взять в точке , так как. Поэтому начало координат можно брать в любой удобной точке в зависимости от интересующего диапазона частот.

Точка пересечения ЛАЧХ с осью абсцисс называется частотой среза . Ось абсцисс соответствует значению, то есть прохождению амплитуды сигнала в натуральную величину (поэтому еще говорят, что на частоте среза система теряет усилительные свойства).

Из рассмотренных здесь частотных характеристик две можно получить экспериментально – амплитудную и фазовую. Из этих двух экспериментальных остальные частотные характеристики могут быть рассчитаны по соответствующим формулам, например— по формуле (2.12). Кроме того, рассчитав по экспериментальным данным, по (2.11) путем обратной подстановки (заменивна) можно получить передаточную функцию. Зная передаточную функцию, можно записать дифференциальное уравнение в операторной форме и далее, применив обратное преобразование Лапласа, — дифференциальное уравнение (уравнение динамики системы).