ВОЗМОЖНАЯ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ РАБОТА ВНЕШНИХ И ВНУТРЕННИХ СИЛ.

Fi

Fk

kk

A

A

B

B1

A1

ik

i

i

k

Возможные работы внешних

kk – собственное перемещение

и внутренних сил i –го состояния

ik –

побочное перемещение

на перемещениях k –го состояния:

Fk

Действительная работа

Fi

Wext,ik

= –Wint,ik

Для ЛДС

внешних сил

Fk

k

–го состояния:

Fi

ik= inv

WW

U

Fk( )

kk

F

( )

ext,ext,kk

kk

(F )

k

1 F

k

kk

i

0

F (ζ)dζ

0

2k

ik

ik

d

kk

kk

= 1/2

Теорема0Клапейрона

Wext, ik = –Wint, ik = Fi* ik U – ПЭУД

η Fk

kk

( B.P.E.

Clapeyron, 1834 )

Wext, ik Wint, ik

σx,i εx,k σy,i εy,k σz,i εz,k τxy,i γxy,k τyz,i γyz,k τzx,i γzx,k dV

V

2

Wext, kk Wint, kk U

1

σx,k εx,k σy,k εy,k σz,k εz,k τxy,k γxy,k τyz,k γyz,k τzx,k γzx,k dV

V

Физические зависимости, связывающие деформации k –го состояния с напряжениями

(для линейно деформируемого изотропного тела, с учётом температурной составляющей )

εx,k

σx,k

ν σy,k σz,k / E α t ; ; εz,k σz,k ν σx,k σy,k / E α t ;

γxy,k τxy,k

/ G ; ; γzx,k τzx,k / G ; G E / 2 1 ν

Wext, ik

Wint, ik

Wext, kk U Wint, kk

2 2

1

σx,i2 σx,k

σy,i σy,k σz,i σz,k

1 1

[σx,k σV y,kE σz,k 2ν

σx,k σy,k σy,k σz,k

σz,k σx,k

2 V Eν σx,i2σy,k 2σz,k σ2 y,i σz,k σx,k σz,i σx,k

σy,k

2(1 ν) τzx,k τzx,k τzx,k Eα t σx,k σy,k

σz,k ]dV

2

(1

ν) τxy,i τxy,k τyz,i τyz,k

τzx,i τzx,k Eα t σx,i σy,i σz,i

}dV

Выражения возможных работ внешних и внутренних сил через внутренние

силовые факторы в стержневых системах с прямолинейными элементами

и стержнями малой кривизны

Вспомогательное единичное состояние

F

Fi = 1

i

i

В

В

q

i

В1

t

o

i

F

ct

( j)

i

Wint,i = ?

i

В

ds F

q

Fi = 1

В

ds

i

В1

Wint,iF = ?

iF

i

i

F

F

MF

d F

MF

Qi

ds

Mi + dMi

y

Изгиб

~0

d F

Ni

Ni

z

QF

ds

MF

ds

Mi

(Mz,i )

Qi (Qy,i )

NF

NF

Растяжение

Для i-го равновесного

MF

NF

( сжатие )

NF

QF

состояния элемента ds

dvF

dsF

F

dsF

линейно деформируемой системы:

Сдвиг

dvF

dWint,iF = – dWext,iF =

0,F

QF

=–

(dWM,iF+dWN,iF +dWQ,iF )

i

В

ds F

q

Fi = 1

В

ds

i

В1

Wint,iF = ?

iF

i

i

F

F

MF

d F

MF

Qi

ds

Mi + dMi

y

dWM, iF = Mi * d F = Mi * F

* ds

Изгиб

~0

N

z

dWM,iF

M

* dθF

Mi

MF

ds

N

i

i

*

*

N, iF

= N

i ds

F

= N

ds

i

i EIF

ds

dWQ, iF = Qi * dvF = Qi * 0,F * ds

NF

Mi

(Mz,i )

Qi (Qy,i )

По закону Гука при изгибе, растяже-

Растяжение

Для i-го равновесного

( сжатие )

dWN,iF

Ni dsF

Ni

NF

ds

NF

нии (сжатии) и сдвиге соответственно:

состояния элемента ds

F = MF /EI;

EA

F = NF

/ EA; QF

dsF

линейно деформируемой системы:

0,F

=

0,F

*

QFi QF

Сдвиг

dW = – dW =

/G = (k

Q

/A)/G

dvF

dWQ,iF

Qi

dvF

kτ

GA

ds

=–

(dW

int,iF

ext,iF

)

распределения касательных

+dW

+dW

k

– коэффициент неравномерности

0,F

QF

напряжений по сечению

M,iF

N,iF

Q,iF

i

В

ds F

q

Fi = 1

В

ds

i

В1

Wint,iF = ?

iF

i

i

F

F

MF

d F

MF

Qi

ds

Mi + dMi

y

Mi

MF

Изгиб

~0

z

dWM,iF

Mi dθF

ds

N

i

N

i

EI

dWint,iF

dWext,iF

ds

Mi

(Mz,i )

Qi (Qy,i )

Mi MF

Ni

NF

NF

Растяжение

EI

Ni

NF

dW

ds

EA

ds

( сжатие )

Для i-го равновесного

N

EA

NF

N,iF

iQi QFF

Q

состояния элемента ds

kτ

GA

ds

F

dsF

линейно деформируемой системы:

Qi

QF

dWQ,iF Qi dvF

kτ

ds

Сдвиг

dvF

dWint,iF = – dWext,iF

=

GA

0,F

=–

(dWM,iF+dWN,iF +dWQ,iF )

QF

i

В

ds F

q

Fi = 1

В

ds

i

В1

Wint,iF = ?

iF

i

i

F

F

MF

d F

MF

Qi

ds

Mi + dMi

y

Обобщение на случай

Изгиб

~0

пространственного сложного

Ni

Ni

z

сопротивления стержня:

dWint,iF

dWext,iF

dWint,iF

ext,iF

ds

Mi

(Mz,i )

Qi (Qy,i )

M

z,i

M

z,F

M

y,i

M

y,F

N

Mi

MF

Ni

NF

Растяжение

EI

EI

F

( сжатие )

Для i-го равновесного

EI

EA

z

y

NF

Mt,i Mt,F

Ni

NF

состояния элемента ds

Qi QF

Q

kτ

ds

F

ds

линейно деформируемой системы:

GI

GA

EA

F

t

Сдвиг

dWint,iF = – dWext,iF =

Qy,i Qy,F

Qz,i Qz,F

dvF

kτy

GA

kτz

GA

ds

=–(dWM,iF+dWN,iF +dWQ,iF )

0,F

QF