ШАБЛОН КОНЕЧНО-РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ
Графическое представление точек расчетной области, входящих в разностное уравнение, называется шаблоном конечно-разностной схемы. В зависимости от того, сколько временных слоев входит в шаблон, схемы бывают двухслойными или
трехслойными.
Реализация схемы зависит от того, сколько точек находится на верхнем слое шаблона, представляющем искомые величины. Если число точек на верхнем слое меньше или равно двум, решение можно найти с помощью явной процедур. Если же на верхнем слое больше трех точек, необходимо применять метод решения СЛАУ с заполненной матрицей. Схемы, шаблон которых имеет на верхнем слое три точки, реализуются с помощью точного экономичного метода прогонки
На рисунке показаны шаблоны чисто явной, чисто неявной и параметрической двухслойных схем для уравнения теплопроводности.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t = t n+1 |
|
|
|
t = t n +1 |
t = t n+1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
t = t n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t = t n |
|
|
|
t = t n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x = xj–1 x = xj x = xj+1 |
x = xj–1 x = xj x = xj+1 |
x = xj–1 x = xj x = xj+1 |
||||||||||
СЛАУ ДЛЯ НЕЯВНОЙ СХЕМЫ
un0 = 11(tn),
un 1 (1 2 )un 1 un 1 un F (x , tn ) , i = 1, 2, …, N – 1.
j 1 j j 1 j j
unM = 12(tn).
Решение системы находится с помощью прогонки.
Для случаев второй и третьей краевой задачи изменяются первое и последнее уравнения СЛАУ. В случае использования более общей схемы параметрической двухслойной схемы изменится правая часть уравнений. Нахождение решения разностной схемы при 0 аналогично случаю чисто неявной схемы.
Система трехточечных уравнений, |
связывающих |
решение в точках верхнего |
|||
(n + 1)-го слоя, имеет вид: |
|
un |
2un uт |
|
|
|
|
|
|||
unj 11 (1 2 )unj 1 unj 11 unj |
(1 ) |
j 1 |
j |
j 1 |
F(xj ,tт), |
|
h2 |
|
|||
n 0,1, ..., M 1, j 1, 2, , N 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ТРЕХСЛОЙНЫЕ СХЕМЫ
|
|
|
un |
2un un |
|
|||
Обозначим |
unj |
A |
j 1 |
j |
j 1 |
|
||
|
h2 |
|
- оператор, второй производной |
|||||
|
|
|
|
|||||
Семейство трехслойных схем: |
unj 1 unj 1 |
unj 1 (1 2 )unj unj 1 . |
||||||
2 |
||||||||
|
||||||||
Порядок аппроксимации O(τ2 + h2). Схема безусловна устойчивость при > 0.25.
unj 1 2 unj 1 unj 1 2 unj 1 (1 2 )unj
unj 1 2 unj 1 unj 1 2 unj 1 (1 2 )unj
2A |
n 1 |
|
|
|
|
|
n 1 |
|
2A |
n 1 |
n 1 |
|
n 1 |
n |
|
||
|
|
4A |
|
||||||||||||||
|
|
u j 1 |
1 |
|
|
|
u j |
|
|
|
u j 1 |
u j |
|
2 u j |
(1 2 )u j |
|
|
h |
2 |
h |
2 |
|
h |
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 un 1 1 2 un 1 2 un 1 un 1 2 un 1 (1 2 )un
j 1 j j 1 j j j
При любом 0 на верхнем слое n+1 получим трехточечное уравнение. Используем метод прогонки
ТРЕХСЛОЙНЫЕ СХЕМЫ
Чтобы начать расчеты нужно знать решение на первых двух временных слоях: t0, t1. Однако из начальных данных известно решение только на слое t0.
Два способа старта:
1.Решение на первом временном слое находится из разложения в ряд Тейлора с учетом исходного уравнения.
u1j u0j |
ut |
2 |
|
|
|
||
2 |
utt O( 3 ), |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ut A2uxx u, |
utt ( u)t (ut ) 2u, |
||||||
1 |
0 |
0 |
|
2 |
2 0 |
2 |
2 |
u j |
u j |
u j |
2 |
u j (E |
2 |
) (x j ). |
|
|
|
|
|
|
|
||
2. Зная начальные данные (т.е. решение на «нулевом слое»), находим решение на первом временном слое по какой-либо двухслойной схеме (явной, неявной). Далее используем трехслойную схему.