Практическое занятие 5. Произведения векторов

Упражнение 1.

1)Что можно сказать о ненулевых векторах, если 1) a b

0,

2) a b

0

3) a b

0 ;

2) Что можно сказать о не нулевых векторах, если a

b

0 ;

3) Что можно сказать о не нулевых векторах, если1)

0, 2)

0, 3)

0

abc

abc

abc

Упражнение 2. Вычислить скалярное произведение векторов a

3;3; 2 .

1; 3;3 ,b

Упражнение 3. Даны точки M1 1; 3;2

, M2

3;1; 1 , M3 1;

1;0

. Вычислить координаты

векторов: 1) M1M3 M2 M3 M1M2 , 2)

M1M 2

M 2M3 M1M3 .

1) проекцию вектора i

j

на вектор i

j ;

2) угол между векторами

2i

3 j

5k И

i

3k

Упражнение 5. Пусть задан вектор силы F

2;3;

5 .Определить величину усилия от действия

силы F в заданных направлениях :

a 1; 2;3

3) c 3;

2;0

1)

2)

b (2;

1; 1)

Пусть даны два вектора a 1;

2;3

Упражнение 6.

, b (2;

1; 1) требуется вычислить

Упражнение 8.

Какие углы образует вектор c

3; 2;0 с осями координат.

Упражнение 9.

Постоянная сила F 3; 2;

1 приложена к телу и перемещает его вдоль отрезка

прямой из точки M1 1; 2;5 в точку M2

3;1; 2

. Вычислить работу силы.

1

3 2

i

j

k

i

j

k

1)

3

4 1

2)

1

0

1

3)

1

0

1

3

2 5

0

1

3

1 1

0

Упражнение 11. Для векторов a 1;1;3 ,b

2;1;2 , c 2;0;5 вычислить векторные

произведения:

1) a b; 2) a с; 3) с b; 4) a b c ; 5) a b

a b c

Упражнение 12. Вычислить площадь

ABC , где:

1)

F

(1;

3;

5), A 1; 5; 7

, B 3; 7; 9 ;

2)

F

(2;

4;

1), A 1; 3; 0

, B 0; 3; 5 ;

Упражнение 14.

Найти все единичные вектора перпендикулярные векторам a 1;

2;3

,

b (2; 1; 1) .

Упражнение 15.

Найти все векторы перпендикулярные векторам a 1; 2;3 , b (2;

1;

1)

Смешанное произведение векторов.

Упражнение 16.

Для векторов a 1;1;3 ,b 2;1;2 , c 2;0;5 вычислить смешанное

произведение

abc .

Упражнение 2.

0 ; Упражнение 3.

1)

12; 24;18 , 2)

0;

30;30 .

a b

Упражнение 4.

Решение.

1)

Сначала вычисляем векторы i

j

=

1;1;0 ,

i

j =(1; 1;0 ).

Затем по формуле

проекцию

i

j

i j

1;1; 0

1;

1; 0

0

ПР(

)

i

j

0

i

j

i

j

2

2

затем

2) Сначала вычисляем векторы 2i

3 j

5k

(2;

3;5),

i

3k

1;0;

3

cos

a b

2;

3;5

1; 0;3

17

0.9

по формуле

a

b

22

3 2

52

12

32

38

10

260

Упражнение 5.

Решение. 1)

0.9 . Усилие направлено противоположно направлению

ПРa F

вектора a . 2) ПРa F

0.13 .

направление усилия и направление вектора a совпадают.

1

cos2

cos2

cos2

e

e

3

cos

1 cos

3

Длина e равна

1

1

1

1

1

1

e

;

;

и e

;

;

1

3

3

3

2

3

3

3

3

340 . Аналогично определяются

3 ПР

c

c

cos

13 cos

cos

0.83

i

13

углы

1240 и

900 .

1

1

3

Упражнение 16.

Произведение вычисляем по формуле

2

1

2

17

abc

2

0 5

Упражнение 17.

Решаем задачу 1). Согласно формуле вычисляем векторы

AB

1;1;

1 , AC

4; 1; 2 , AD

1; 2;

1 .

Объём пирамиды равен

смешанному произведению

1

1

1

1

V

AB AC AD

4

1

2

12

6

1

2

1

Решаем задачу 2) аналогичным образом V

2.3.

1

v

M

2 M4

M2 M3 M2 M1

. Вычисляем координаты векторов

6

M2M4

x 2;0;1 , M2M3

1;

3; 2

, M2M1

1;1;0

. Отсюда

x

2

0 1

2 2x . Выписываем формулу объёма

M 2 M 4 M 2 M3

M 2 M1

1

3 2

1

1 0

v

1

2x

. Решая это уравнение получаем координаты вершины M 4

2

6

1) 4

1

2

2x

24

2

2x

x

11;

6

2) 4

1

2x

2

24

2x

2

x

13;

6

Ответ: Возможны две ситуации 1)M4

11;0;0 ; 2)M4

13;0;0