lekciq_15

ЛЕКЦИЯ 15. Касательные и главные напряжения при прямом поперечном изгибе. Полная проверка прочности

Касательные напряжения при изгибе. При прямом поперечном изгибе изгибающий момент и поперечная сила отличны от нуля, наличие этих внутренних усилий приводит к возникновению нормальных и касательных напряжений. Гипотеза плоских сечений не выполняется (рис. 15.1).

а)

в)

б)

Рис. 15.1. а) схема нагружения балки при прямом поперечном изгибе, б) балка до деформации, в) балка после деформации

На решение задачи об определении нормальных напряжений при изгибе ушло 188 лет. В 1638г. эту задачу поставил Г. Галилей, а её правильное решение было изложено Навье в его учебнике «Сопротивление материалов» в 1826г. Зависимость для определения касательного напряжения при изгибе была получена в 1855г. выдающимся русским инженером Д.И. Журавским при разработке методов расчёта деревянных пролётных строений в ходе проектирования и строительства ж/д. Петербург – Москва.

При выводе этой формулы он считал, что касательные напряжения распределяются равномерно по ширине поперечного сечения и направлены параллельно поперечной силе (рис. 15.2).

Рис. 15.2. Поперечное сечение произвольной формы

Вырежем элемент балки длиной dx (рис. 15.3), на расстоянии y от оси z проведём продольное сечение, рассмотрим нижнюю отсечённую часть. Внутренние усилия в поперечном сечении М и Q, на расстоянии dx внутренние силы в поперечном сечении составят М + dМ и Q. Нормальные напряжения в любой точке сечения σ^/ и на расстоянии dx σ^// определяются с помощью зависимости 15.1.

. (15.1)

Рис. 15.3. Элемент балки

Элемент балки должен находиться в равновесии, поэтому

Окончательно формула Д.И. Журавского для определения касательных напряжений имеет вид (15.2).

. (15.2)

Касательное напряжение в конкретном сечении не зависит от отношения поперечной силы к осевому моменту инерции (), т.к. эта величина в пределах одного сечения не меняется, а зависит от отношения статического момента площади отсеченной части к ширине сечения на уровне отсеченной части ().

Условие прочности по касательным напряжениям выглядит как:

, (15.3)

здесь обозначения такие же, что и в формуле Журавского, а R_s – расчетное сопротивление срезу или расчетное сопротивление по касательным напряжениям. Как правило .

Главные напряжения. Сведения о главных напряжениях изложены ранее (лекция 3).

Рис. 15. 4. Иллюстрация плоского напряжённого состояния в точке

В случае плоского напряжённого состояния, к которому относится прямой поперечный изгиб σ_x = σ, σ_y = 0, τ_yx = τ, тогда тензор напряжений будет иметь вид

.

Ранее было получено, что

(15.4)

Подставим (15.4) в выражение для третьей теории прочности (теория наибольших касательных напряжений)

и получим условие прочности по третьей гипотезе прочности

. (15.6)

Можно воспользоваться четвёртой (энергетической теорией прочности), подставим (15.4) в (15.7) и получим (15.8) – условие прочности по энергетической теории.

Полная проверка прочности при изгибе – это последовательная проверка прочности по нормальным, касательным и главным напряжениям, которые имеют вид:

, , .

3