информатика / Инф1_Л 13_Информационные_процессы_в_ЭВМ

Тема: Информационные процессы в ЭВМ.

Учебные вопросы:

1. Числовая информация и системы счисления.

2. Кодирование информации.

3. Количество информации.

1.

«Всё есть число», - говорили «пифагорейцы», подчёркивая необычайно важную роль чисел в практической деятельности людей.

Известно много способов представления чисел. Но, в любом случае, число изображается символом или группой символов (словом) некоторого алфавита. Такие символы называются цифрами.

Для представления и записи чисел применялись и применяются две группы систем счисления непозиционные и позиционные.

Как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел. Находки археологов на стоянках первобытных людей свидетельствуют о том, что первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков (бирок): зарубок, чёрточек, точек. Такая система записи чисел называется единичной (унарной), так как любое число в ней образуется путём повторения одного знака, символизирующего единицу.

Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления.

Примерно в третьем тысячелетии до нашей эры древние египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100 и т.д. Использовались специальные знаки – иероглифы. Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи операции сложения.

В непозиционных системах счисления количественный эквивалент каждой цифры не зависит от её положения (места, позиции) в записи числа.

Римская система счисления.

В её основе лежали знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для числа 10, а для обозначения чисел 100,500 и 1000 стали применять первые буквы соответствующих латинских слов (Centum - сто, Demimile – половина тысячи, Mile – тысяча).

Чтобы записать число, римляне разлагали его на сумму тысяч, полутысяч, сотен, полусотен, десяток, пятков, единиц. Для записи промежуточных чисел они использовали не только сложение, но и вычитание. При этом применялось следующее правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а поставленный слева, из него вычитается.

Например: IX – означает 9; а XI – означает 11. Десятичное число 99 запишется XCIX = -10 + 100 – 1 + 10.

Алфавитные системы счисления.

К их числу относились греческая, финикийская, славянская системы счисления, использовавшие в качестве цифр, составляющих числа, буквы алфавита соответствующего языка.

Позиционные системы счисления.

Основные достоинства любой позиционной системы счисления – простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов (цифр), необходимых для записи любых чисел.

Основанием позиционной системы счисления называется возводимое в степень целое число, равное количеству цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления. Основание показывает, также, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении её на соседнюю позицию.

Возможно множество позиционных систем счисления, так как за основание системы можно принять любое число, не меньшее 2. Наименование позиционной системы счисления соответствует её основанию.

В позиционных системах счисления количественный эквивалент (значение) цифры зависит от её места (позиции) в записи числа.

В позиционной систему счисления с основанием q единицами разрядов служат последовательные степени числа q, иначе говоря, q единиц какого-то разряда образуют единицу следующего разряда.

В позиционной системе счисления число в развёрнутой форме может быть представлено в следующем виде:

Аq = ± (а_n-1 q^n-1 + а_n-2 q^n-2 + а_o q^o + а_-1 q^-1 + …а_-m q^-m) Аq = ±

где

А – число

q – основание системы счисления

a_{i –} цифры алфавита данной системы счисления

n – число целых разрядов числа

m – число дробных разрядов числа

Сокращённой формой записи числа называется запись в виде

А = а_n-1 а_n-2… а₁ а_o, а _{m -1}…а_-m

Пример 1: Десятичное число А₁₀ = 4718,63.

В развёрнутой форме оно запишется: А₁₀ = 4 · 10³ + 7 · 10² + 1 · 10¹ + 8 · 10⁰ + 6 · 10^-1 + 3 · 10^-2

Пример 2: Восьмеричная система счисления. Основание: q = 8. алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Записав восьмеричное число А₈ = 7764,1 в развёрнутом виде А₈ = 7 · 8³ + 7 · 8² + 6 · 8¹ + 4 · 8⁰ + 1 · 8^-1

получим возможность выразить это число в десятеричной системе счисления

= 3584 + 448 + 48 + 4 + 0,125 = 4084,125₁₀

Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую.

Алгоритм перевода целых чисел из системы с основанием p в систему с основанием q:

1. Основание новой системы счисления выразить числами исходной системы счисления и все последующие действия производить в исходной системе счисления.

2. Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя.

3. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.

4. Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка.

Пример: Перевести десятичное число 173₁₀ в восьмеричную систему счисления.

173	8
5	21	8
	5	2

Получаем: 173₁₀ = 255₈

Пример: Перевести десятичное число 173₁₀ в шестнадцатеричную систему счисления.

173	16
13	10
(D)	(А)

Получаем: 173₁₀ = AD₁₆

Иногда более удобно записать алгоритм перевода в форме таблицы.

Пример: Перевести десятичное число 363₁₀ в двоичное число.

Делимое	363	181	90	45	22	11	5	2	1
Делитель	2	2	2	2	2	2	2	2	2
Остаток	1	1	0	1	0	1	1	0	1

Получаем: 363₁₀ = 101101011₂

Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую.

Можно сформулировать алгоритм перевода правильной дроби с основанием p в дробь с основанием q:

1. Основание новой системы счисления выразить числами исходной системы счисления и все последующие действия производить в исходной системе счисления.

2. Последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы счисления до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или будет достигнута требуемая точность представления числа.

3. Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.

4. Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

Пример: Перевести десятичное число 0,65625₁₀ в восьмеричную систему счисления.

0,	65625 × 8
5	25000 × 8
2	00000

Получаем: 0,65625₁₀ = 0,52₈

2.

Информация может поступать к человеку в виде символьных или знаковых сообщений. Такая информация представляет собой некоторый конечный набор знаков, которые можно назвать буквами. В данном случае буквой называется элемент некоторого конечного множества отличных друг от друга знаков.

Множество знаков, в котором определён их порядок, называется алфавитом.

Появился другой способ измерения информации. Этот способ не связывает количество информации с содержанием сообщения и называется алфавитным или объёмным.

Полное число символов алфавита принято называть его мощностью.

Например: Мощность алфавита из русских букв и символов (включая пробел) равна 54.

Знание о способе передачи информации в виде сообщения, состоящего из символов алфавита, позволяет ввести уточнение в наши представления о процессе передачи информации.

В канале связи сообщение, составленное из символов (букв) одного алфавита, может быть преобразовано в сообщение из символов (букв) другого алфавита.

Правила, описывающие однозначное соотношение букв алфавитов при таком преобразовании называются кодом. Саму процедуру преобразования называют перекодировкой. Подобное преобразование сообщения может осуществляться в момент его поступления от источника в канал связи (кодирование) и в момент приёма сообщения получателем (декодирование). Устройства, обеспечивающие эти процессы, называются соответственно кодировщиком и декодировщиком.

3.

Сообщение несёт для человека информацию, если содержащиеся в нём сведения являются для него новыми и понятными. Разные сообщения могут содержать в себе разное количество информации. Для измерения количества информации нужна единица измерения.

Подход к информации как мере уменьшения неопределённости знаний позволил измерять информацию количественно. Что такое неопределенность знаний поясняет пример с игрой в «орлянку» («орёл» или «решка»). Есть всего два варианта возможного варианта бросания монеты. Причём не один из вариантов не имеет преимущества перед другим. В таком случае говорят, что они равновероятны.

Следовательно: неопределённость знаний о некотором событии – это количество возможных результатов события.

В результате бросания монеты произошло одно из двух равновероятных событий. Неопределённость знаний в таком случае уменьшилась в два раза.

Сообщение о том, что произошло одно из двух равновероятных событий и неопределённость знаний, в результате этого, уменьшилась в два раза, было принято за единицу информации 1 бит (Binary digit – двоичная цифра).

Количество информации для нескольких равновероятных событий определяется по формуле Хартли:

I = log₂N  показательное уравнение N = 2^I

где I – количество информации N – количество возможных событий.

Существуют ситуации, когда события происходят с различными вероятностями.

Например: Студент может получить на экзамене оценку в зависимости от того, как он к этому экзамену подготовился.

Количество информации для событий с различными вероятностями определяются по формуле Шеннона:

где Pi - вероятность отдельных событий.

Мы уже узнали, что единицей количества информации является 1 бит. Для измерения количества информации на его основе принята система единиц:

1 байт = 8 бит;

1 Кбайт = 2¹⁰ байт = 1024 бит;

1 Мбайт = 2¹⁰ Кбайт = 2²⁰ байт;

1 Гбайт = 2¹⁰ Мбайт = 2²⁰ Кбайт = 2³⁰ байт.

Такой подход к определению количества информации был назван содержательным или вероятностным.

Можно определить количество информации, которое несёт в себе каждый символ русского алфавита, если принять его за одно из 54 событий (не равновероятных – формула Шеннона, равновероятных – формула Хартли). В данном случае количество информации будет зависеть от объёма текста и от мощности алфавита.

Пример: Какова мощность алфавита, с помощью которого записывается сообщение, содержащее 2048 символов, если его объём составляет 1,25 Кбайт (встречаемость символов равновероятна)?

1. Переводим объём информации в биты. I = 10240 бит.

2. Определяем количество бит информации в одном символе. 10240 бит / 2048 = 5 бит.

3. По формуле Хартли определяем количество возможных событий, а в данном случае символов. N = 2^I = 2⁵ = 32.