Колебания и волны

2.Амплитуда колебаний за 1 минуту уменьшилась вдвое. Во сколько раз она уменьшится за 3 минуты?

На основании формулы (18), для амплитуды затухающих колебаний запишем

t1 ln( A0 / A1 ) ln(2), t2 3 t1 3ln(2)

Составив отношение амплитуд, получим

A2 / A0 e 3ln(2) 2 3 1 / 8

Амплитуда уменьшится в 8 раз.

3.Точка участвует в двух колебаниях одинаковой частоты с амплитудами A1 = 3 см, A2 = 4 см. и одинаковыми начальными фазами. Найти амплитуду результирующего колебания, если: а) - колебания в одном направлении; б) - колебания перпендикулярны.

Используя формулу (32), где 2 1 0 , для случая а) находим A A1 A2 7 см. Для случая б), используя формулу (40) при 0 , приходим к уравнению траектории (40б)

y A2 x / A1 4 / 3 x .

Точка наибольшего отклонения от равновесного состояния (0,0) имеет координаты (3,4), она удалена от состояния равновесия на расстояние,

равное 32 42 5 см. Это и будет результирующая амплитуда A .

2.Волновые процессы.

2.1Основные определения, классификация волн.

2.2Плоские и сферические волны.

2.3Волновое уравнение для плоских волн.

2.4Звуковые волны.

2.5Электромагнитные волны.

2.6Примеры решения задач.

2.1ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, КЛАССИФИКАЦИЯ ВОЛН.

Волновые процессы, или волны окружают нас повсюду: волны на воде - поверхностные волны, звуковые волны, электромагнитные волны (в частности, видимый свет, излучение тепла нагретым телом) — это далеко не полный перечень волновых процессов. Мы ограничимся весьма кратким рассмотрением этого класса физических явлений.

Итак, волной называют колебание какой-то физической величины, распространяющееся в пространстве, т.е. волна это бегущее колебание. Если колебание описывалось функцией одного аргумента - времени, то волна есть функция по крайней мере двух переменных - времени и пространственной координаты (в общем случае всех координат x, y, z ).

Геометрическое место точек пространства, где колебания имеют одинаковую фазу, называется волновой поверхностью, а первая (т.е. наиболее удаленная от источника) волновая поверхность - волновым фронтом. По форме волнового фронта различают плоские, сферические,

цилиндрические волны.

Плоские волны создаются плоским излучателем, имеющим достаточно большие размеры (формально - бесконечной плоскостью). Если такая волна распространяется вдоль оси x, то она описывается функцией двух переменных p(x;t) .

Сферические волны создаются источником сферической формы. Например, источником таких звуковых волн может служить динамик с

сферической при любой форме источника колебаний. Другими словами, источник колебаний малых размеров излучает сферические волны. Такие

циклическая частота. Расстояние, пробегаемое волной за один период колебания называется длиной волны, т.е.

где c - скорость распространения волны.

По форме распространяющихся колебаний различают гармонические (в оптике их называют монохроматические) и негармонические волны. Последние можно представить суперпозицией гармонических.

По физической природе различают упругие (или звуковые) волны, поверхностные (например, волны на воде), электромагнитные и другие. Естественно, характеристики перечисленных волновых процессов совершенно различны. Они различны и внутри любого одного типа волн; например, различна скорость звука в газах и жидкостях, свойства

электромагнитных волн существенно зависят от их частоты. Однако, как и в случае колебаний, в математическом описании волн разных видов много общего.

По направлению колебаний различают волны продольные и поперечные. Для первых направление колебаний совпадает с направлением распространения волны, для вторых - эти направления взаимно перпендикулярны. Например, звук в газах - это продольные волны, электромагнитные волны - поперечные

2.2 ПЛОСКИЕ И СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ.

Предположим, что в плоскости x = 0 имеется источник совершающий колебания; например, для звуковых волн, это может быть плоскость диффузор громкоговорителя. Считаем эти колебания гармоническими с амплитудой A и циклической частотой

плотности), вызванные колебаниями источника p(0; t) , передаются от точки к точке, и вдоль оси x побежит плоская волна p(x; t) , см. рис.13.

Рис.13. Распространение плоской волны.

Пренебрегая затуханием колебаний по мере их распространения, считаем, что колебание, которое пришло в точку x в момент времени t -

это то же, что было в точке x = 0 в момент времени t - , где x / c - время пробега волны от нуля до точки x . Таким образом, с учетом (42) имеем

p(x; t) p(0; t ) A sin[ ( t )] A sin( t kx) ,

где

Ясно, что для волны, бегущей влево в выражении (44) следует поставить знак + (т.к. изменится знак скорости).

Наблюдая волну (44) в фиксированной точке x x1 , мы имеем гармоническое колебание, фаза которого зависит от выбранной точки

p(x1;t) Asin( t 1 ) , 1 2 x1 / (44а)

это осциллограмма плоской волны. Зафиксировав в (44) момент времени

t t1 , получим гармоническую функцию координаты, называемую

мгновенный снимок волны

Период этой функции равен длине волны .

Предположим теперь, что в начале координат имеется точечный источник, совершающий гармонические колебания. Проводя аналогичные рассуждения, запишем уравнение вызванной им сферической волны в виде

где r - длина радиуса - вектора в точку наблюдения. Существенным отличием формулы (45) от (44) является то, что амплитуда здесь будет убывать по мере распространения даже в отсутствии потерь. В самом деле, площадь волнового фронта (сферы радиуса r ) растѐт пропорционально квадрату радиуса, а энергия колебаний на каждой такой сфере должна быть одинакова. Поскольку энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды , отсюда следует, что

A2 r 2 const ,

2.3 ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ПЛОСКИХ ВОЛН.

Напомним, что гармоническое колебание является общим решением дифференциального уравнения (8), называемое уравнением гармонического осциллятора. Плоская волна (44) является общим решением дифференциального уравнения в частных производных

которое называется волновым уравнением ( с - скорость распространения волны в данной среде). Действительно, дифференцируя (44) по x и по t , имеем

тождество.

Уравнение (47) возникает при решении многих физических проблем: оно получается из законов механики в задаче распространения колебаний смещения среды в твердом теле, из газовых законов при исследовании распространения колебаний давления в газе, из уравнений электродинамики в задачах распространения электромагнитных волн. Конечно, в разных задачах физический смысл переменной p скорости c различен.

Отметим, что гармоническая волна (44) это лишь одно из его решений. Оказывается, ему удовлетворяет колебание любой формы, бегущее со скоростью с. В самом деле, пусть колебание источника

представляет собой любую функцию времени , т.е. p(0;t) f (t) . Тогда в точке x оно имеет вид

p(x;t) f (t x / c) .

Обозначим z t x / c и дифференцируя, имеем

Подставляя (49) в (44), мы вновь получаем тождество.

2.4 ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ.

Звуковые волны в газе представляют собой бегущие колебания давления p (или плотности , поскольку, согласно уравнению состояния газа,

плотности среды (а она связана с температурой) и определяется формулой

нормальных условиях формула (50) даѐт значение скорости звука

c 330 м/с .

Звуковые волны в твердых телах могут быть как продольными, так и поперечными (сдвиговыми). Скорость распространения звука в твердых телах зависит от их упругости и плотности и она значительно выше скорости звука в газах. В частности, скорость продольных волн в стержнях определяется формулой

c E / ,

(51а)

а поперечных - формулой

c G / ,

(51б)

где E - модуль упругости (модуль Юнга), G - модуль сдвига, - плотность материала. Например, для железа формула (51а) дает значение

c = 5170 м/с.

Слуховое восприятие звуковых волн - громкость зависит от

интенсивности колебаний

I p / S ,

наше восприятие громкости - логарифму интенсивности. Принятая в акустике единица измерения интенсивности звука - децибел

2.5 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ.

Электромагнитные волны представляют собой взаимно связанные колебания напряженности электрического и магнитного полей, распространяющиеся в пространстве. Источником электромагнитных волн являются движущиеся с переменной скоростью электрические заряды. Это могут быть хаотически движущиеся свободные электроны или ионы (в случае теплового излучения), переменный ток достаточно высокой частоты в проводнике (при излучении радиоволн), электроны, переходящие с верхних энергетических уровней на нижние (при излучении света газоразрядными трубками и лазерном излучении).

Электромагнитные волны могут распространяться в свободном пространстве (вакууме) или в средах не проводящих электрический ток. В проводящей среде они вызывают движение зарядов, следовательно, их энергия превращается в тепло и волны быстро затухают. Скорость электромагнитных волн в вакууме

c 3 108 M /c ,

еѐ принято называть скоростью света. В среде с показателем преломления n скорость их меньше

Здесь - диэлектрическая, а - магнитная проницаемость. В диэлектрических средах, где, собственно, и могут распространяться волны,

= 1 .

Электромагнитные волны поперечные: если, например, волна бежит вдоль оси x , то колебания вектора напряженности электрического поля E направлены вдоль оси y , а колебания напряженности магнитного поля H - вдоль оси z (или наоборот). Соответствующие формуле (47) волновые уравнения здесь имеют вид

электромагнитных волн было теоретически обосновано Максвеллом в 1860 году, а экспериментально обнаружены они были спустя примерно полвека Герцем. Практическое использование электромагнитных волн в современном мире постоянно растет.

Приведем в заключение шкалу электромагнитных волн, где длине волны примерно соответствует указанный характер электромагнитного излучения.

Рис.14. Шкала электромагнитных волн.

Отметим, что видимый свет ограничен диапазоном длин волн

3.6 10 7 7.7 10 7 (м)

Нижняя граница соответствует фиолетовому цвету, верхняя - красному. Излучение на длинах волн справа от этого интервала называется инфракрасным (воспринимается, как тепло), а слева от него -

ультрафиолетовым.

Электромагнитное излучение с длинами волн, примерно от 10 3 м

до 104 м, называют радиоволнами различных диапазонов. Они чрезвычайно широко используются в современной технике. Радио, телевидение, радиолокация - основные сферы их применения.

2.6 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

1.Звуковая волна с частотой 500 гц распространяется в воздухе. Амплитуда колебаний равна 0,25 мм. Найти длину волны и максимальную скорость частиц воздуха.

Запишем данные: 500 гц, A 0,25 10 3 м . ? , vmax ?

Используя формулу (41) и зная величину скорости звука в воздухе, находим:

c / 330 / 500 0,66 (м) .

Для нахождения скорости колебаний используем формулу (44) и дифференцируем еѐ по времени:

p(x; t) A sin( t kx) ,

Максимальная скорость есть модуль коэффициента при синусе в

последнем выражении т.е. vmax 2 A (2 )2 . Подставляя значения, находим vmax 0,785 (м/с).

2. Найти разность фаз колебаний двух точек волны, отстоящих от источника на расстояниях 10 м и 16 м . Период колебаний равен 0,04с, скорость волны - 300 м/с.

Разность фаз колебаний - это разность значений аргументов «синусов»

в точках x2 и x1 :

k(x2 x1 ) (2 / ) (x2 x1 )

Учтя, что длина волны cT и подставляя данные, находим , т.е. колебания в этих точках противофазные.

Контрольная работа по теме «Колебания и волны»

В приведѐнной таблице номер варианта определяется последней цифрой зачетной книжки.

1.Точка совершает синусоидальные свободные колебания. Начальное отклонение равно 2 см, начальная скорость равна нулю. Найти амплитуду и начальную фазу. Построить график, считая, что период равен 8 с.

2.Точка совершает синусоидальные свободные колебания. Начальное отклонение равно нулю, начальная скорость 10 см/с, период 1с. Найти амплитуду и начальную фазу. Построить график.

3.Точка совершает синусоидальные свободные колебания. Начальное отклонение равно нулю, начальная скорость 10 см/с, частота 10 герц. Найти амплитуду и начальную фазу. Построить график.

4.Точка совершает синусоидальные свободные колебания. Начальное отклонение равно 2 см, начальная скорость 10 см/с, частота 10 герц. Найти амплитуду и начальную фазу.

Найти ускорение точки в момент времени t = 0,25 c.

период равен 0,1 с, начальная фаза равна / 2 . Найти скорость точки в момент времени t = 0,25 c.